Questão 4 do IME 2020

Comece pela segunda equação. Como e^{2\ln x}=e^{\ln x^2}=x^2 (com x>0, condição para existir \ln x), temos y=x^2.

Substitua na primeira equação:

1. x=\dfrac{\sqrt[3]{2y^2}}{2} vira 2x=\sqrt[3]{2x^4}.
2. Elevando ao cubo: 8x^3=2x^4.
3. Dividindo por 2x^3 (já que x>0): x=4.
4. Então y=4^2=16.

Agora a terceira equação, \log_2 y+\log_x z=x+3:

• \log_2 16=4, e o lado direito vale 4+3=7.
• Logo 4+\log_4 z=7, ou seja, \log_4 z=3.
• Portanto z=4^3=64.

A soma é S=4+16+64=84.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem relação com a solução; não corresponde a 4+16+64.
• CResultado de erro no cálculo de z ou de x; não confere com a soma 4+16+64.
• DÉ 2^9, valor que não resulta do sistema.
• EValor sem relação com a solução, obtido de algum erro de potência.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Função exponencial.

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