PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do IME 2020

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Considere os conjuntos A = \{0, 1, 2, 3, 4\} e B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}. Seja F o conjunto de funções cujo domínio é A e cujo contradomínio é B. Escolhendo-se ao acaso uma função f de F, a probabilidade de f ser estritamente crescente ou ser injetora é:

  1. A
    0{,}00252
  2. B
    0{,}00462
  3. C
    0{,}25200
  4. D
    0{,}30240
  5. E
    0{,}55440
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Resolução comentada

Cada função de A em B associa a cada um dos 5 elementos de A um dos 10 elementos de B. Logo, o total de funções é 10^5 = 100\,000.

Queremos P(\text{crescente} \cup \text{injetora}). Use n(X\cup Y)=n(X)+n(Y)-n(X\cap Y).

  1. Injetoras: os 5 valores devem ser distintos, então 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6 = 30\,240.

  2. Estritamente crescentes: os valores f(0)<f(1)<\dots<f(4) são distintos e a ordem já está fixada. Basta escolher 5 elementos de B: \binom{10}{5}=252.

  3. Interseção: toda função estritamente crescente é injetora, pois valores diferentes em ordem crescente nunca se repetem. Assim, as crescentes estão contidas nas injetoras e a interseção tem 252 funções.

  4. União: 30\,240 + 252 - 252 = 30\,240, ou seja, é só o conjunto das injetoras.

Probabilidade:

P=\frac{30\,240}{100\,000}=0{,}30240

Alternativa D.

Pegadinha: Somar as probabilidades das crescentes e das injetoras sem notar que toda crescente já é injetora; a união é só o conjunto das injetoras.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa apenas as funções crescentes sobre o total: 252/100\,000.
  • BSoma 252 com 30 240 e erra a divisão, ou confunde as contagens; não corresponde à união correta.
  • CValor sem relação com a contagem correta; 25\,200 não é o número de injetoras nem da união.
  • ESoma crescentes e injetoras sem descontar a interseção e ainda erra o valor; ignora que crescentes são injetoras.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Probabilidade: conceitos básicos.

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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗