PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 do IME 2020

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Números complexos

Seja A = \{ z \in C \mid 2 \le |z - 3 - 4i| \le 3 \} onde C é o conjunto dos números complexos. O valor do produto entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto A e o conjugado do complexo de maior módulo do mesmo conjunto A é:

  1. A
    -16
  2. B
    -8
  3. C
    -16/5
  4. D
    1
  5. E
    16
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Resolução comentada

O conjunto A é a coroa circular de centro c = 3+4i e raios 2 e 3. Como |c| = \sqrt{3^2+4^2} = 5, a origem está fora da coroa, e os pontos de menor e maior módulo ficam sobre a reta que liga a origem ao centro.

O ponto de A mais próximo da origem está na circunferência de raio 3, em direção à origem. O de maior módulo está na circunferência de raio 3, no lado oposto. Os vetores unitários nessa direção são \frac{c}{|c|} = \frac{3+4i}{5}.

  1. Menor módulo: |z| = 5 - 3 = 2, logo z_1 = 2\cdot\frac{3+4i}{5} = \frac{6+8i}{5}.
  2. Maior módulo: |z| = 5 + 3 = 8, logo z_2 = 8\cdot\frac{3+4i}{5} = \frac{24+32i}{5}.

O simétrico de z_1 é -z_1 = -\frac{6+8i}{5}, e o conjugado de z_2 é \overline{z_2} = \frac{24-32i}{5}.

Produto:

-\frac{(6+8i)(24-32i)}{25}

Por (6+8i)(24-32i) = 144 - 192i + 192i - 256i^2 = 144 + 256 = 400.

Então o produto é -\frac{400}{25} = -16.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem esquece o sinal de menos do simétrico, obtendo +16.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErra a conta do produto ou os módulos extremos, chegando à metade do valor correto.
  • CDivide por 5 a mais, confundindo a normalização do vetor unitário.
  • DNão corresponde a nenhum cálculo válido; ignora os módulos extremos 2 e 8.
  • EEsquece o sinal do simétrico do complexo de menor módulo.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗