Questão 2 do IME 2020

O número de divisores de n = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots é (a_1+1)(a_2+1)\cdots.

Como 1800 = 2^3\cdot 3^2\cdot 5^2, o número de divisores é 4\cdot 3\cdot 3 = 36.

Precisamos do menor ímpar com 36 divisores. Ele só pode usar primos ímpares (3, 5, 7, 11, \dots). Para ficar pequeno, os maiores expoentes vão para os menores primos. Testamos as fatorações de 36 em fatores (a_i+1):

1. 3\cdot3\cdot2\cdot2 (expoentes 2, 2, 1, 1): 3^2\cdot5^2\cdot7\cdot11 = 9\cdot25\cdot77 = 17325.
2. 4\cdot3\cdot3 (expoentes 3, 2, 2): 3^3\cdot5^2\cdot7^2 = 33075.
3. 6\cdot3\cdot2 (expoentes 5, 2, 1): 3^5\cdot5^2\cdot7 = 42525.
4. 9\cdot2\cdot2 (expoentes 8, 1, 1): 3^8\cdot5\cdot7 = 229635.
5. Com dois fatores ou menos (6\cdot6, 9\cdot4, 12\cdot3, 18\cdot2, 36), os números são ainda maiores.

O menor é 17325, que está em [17001,18000].

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANenhum ímpar com 36 divisores é tão pequeno; o menor é 17325, acima de 16000.
• BNenhuma distribuição de expoentes dá um ímpar com 36 divisores entre 16001 e 17000.
• DFica acima do mínimo; 17325 já tem 36 divisores e é menor.
• ECorresponde a escolhas de expoentes que não minimizam o número, como 33075 ou 42525.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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