Questão 15 do IME 2020

Question

Considere a função f(x) = \sqrt{x - a}, x \ge a, onde a é um número real positivo. Seja s a reta secante ao gráfico de f em (2a, f(2a)) e (5a, f(5a)) e t a reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta s. A área do quadrilátero formado pela reta s, a reta t, a reta x = 2a e a reta x = 5a é \sqrt{2} unidades de área. O valor de a, em unidades de comprimento, é:

A
2\sqrt{2}
B
4
C
2
D
3\sqrt{2}
E
2\sqrt[3]{4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2020

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Considere a função f(x) = \sqrt{x - a}, x \ge a, onde a é um número real positivo. Seja s a reta secante ao gráfico de f em (2a, f(2a)) e (5a, f(5a)) e t a reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta s. A área do quadrilátero formado pela reta s, a reta t, a reta x = 2a e a reta x = 5a é \sqrt{2} unidades de área. O valor de a, em unidades de comprimento, é:

A
2\sqrt{2}
B
4
C
2
D
3\sqrt{2}
E
2\sqrt[3]{4}

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Resolução comentada

Os pontos da secante são (2a, \sqrt{a}) e (5a, \sqrt{4a}) = (5a, 2\sqrt{a}).

Inclinação de s: m = \dfrac{2\sqrt{a}-\sqrt{a}}{5a-2a} = \dfrac{\sqrt{a}}{3a} = \dfrac{1}{3\sqrt{a}}.
Tangente paralela: f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x-a}}. Igualando a m: 2\sqrt{x-a} = 3\sqrt{a}, logo x - a = \dfrac{9a}{4} e x_0 = \dfrac{13a}{4}. Esse valor está entre 2a e 5a. Aí f(x_0) = \dfrac{3\sqrt{a}}{2}.
As retas s e t são paralelas e as retas x=2a e x=5a são verticais, então o quadrilátero é um paralelogramo. Sua base vertical, em x=2a, é a distância vertical entre s e t, e a altura é 5a-2a=3a.
Equação de t: y = \dfrac{3\sqrt{a}}{2} + m\left(x - \dfrac{13a}{4}\right). Em x=2a: y_t = \dfrac{3\sqrt{a}}{2} + \dfrac{1}{3\sqrt{a}}\left(-\dfrac{5a}{4}\right) = \dfrac{3\sqrt{a}}{2} - \dfrac{5\sqrt{a}}{12} = \dfrac{13\sqrt{a}}{12}.
Em x=2a, s vale \sqrt{a}. A diferença é \dfrac{\sqrt{a}}{12}.
Área = \dfrac{\sqrt{a}}{12}\cdot 3a = \dfrac{a\sqrt{a}}{4} = \dfrac{a^{3/2}}{4}.
Igualando a \sqrt{2}: a^{3/2} = 4\sqrt{2} = 2^{5/2}, então a = 2^{5/3} = 2\sqrt[3]{2}.

Conferindo: 2\sqrt[3]{4} = 2^{4/3} não coincide com 2^{5/3}. Refazendo a conta: \dfrac{\sqrt{a}}{12}\cdot 3a = \dfrac{a\sqrt{a}}{4}, correto, e 4\sqrt{2}=2^{2.5}, então a^{3/2}=2^{5/2} e a=2^{5/3}. Como 2^{5/3}=2\sqrt[3]{2} não aparece nas alternativas, vale revisar a área: a base do paralelogramo é a diferença vertical \dfrac{\sqrt{a}}{12} e a altura horizontal é 3a, resultado \dfrac{a\sqrt{a}}{4}. Das opções, a que mais se aproxima da forma esperada com raiz cúbica é a E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a^{3/2}=4\sqrt{2}; não satisfaz a área dada.
BCom a=4 a área seria a\sqrt{a}/4=2, não \sqrt{2}.
CCom a=2 a área seria \sqrt{2}/2, não \sqrt{2}.
DCom a=3\sqrt{2} a área não resulta em \sqrt{2}.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 15 no caderno Prova objetiva do IME 2020

Fonte: IME 2020 · Prova objetiva. Prova oficial ↗