Questão 9 do IME 2019

Há \binom{6}{3}=20 triângulos possíveis, e precisamos descobrir quais têm inraio r=R/2. Os vértices do hexágono dividem o círculo em arcos de 60^\circ, então os triângulos se classificam pelas sequências de arcos (somando 6 partes):

1. Arcos (1,1,4): triângulo obtusângulo com ângulos 30^\circ,30^\circ,120^\circ. São 6 triângulos.
2. Arcos (1,2,3): triângulo retângulo com ângulos 30^\circ,60^\circ,90^\circ. São 12 triângulos.
3. Arcos (2,2,2): triângulo equilátero. São 2 triângulos.

Total: 6+12+2=20.

Agora calculamos r de cada tipo:

• Equilátero: o lado é R\sqrt3 e o inraio é \dfrac{R}{2}. Esse caso serve.
• Retângulo (1,2,3): a hipotenusa é o diâmetro 2R, os catetos são R e R\sqrt3. Então r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{R+R\sqrt3-2R}{2}=\dfrac{R(\sqrt3-1)}{2}\approx0{,}37R. Não serve.
• Triângulo (1,1,4): lados R, R, R\sqrt3. A área é \tfrac12R^2\sen120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}R^2 e o semiperímetro é \dfrac{R(2+\sqrt3)}{2}. Então r=\dfrac{\sqrt3R/2}{2+\sqrt3}\approx0{,}23R. Não serve.

Só os 2 triângulos equiláteros satisfazem a condição:

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AEsquece que o triângulo equilátero inscrito tem inraio exatamente R/2.
• CValor sem relação com a contagem; não corresponde a nenhum conjunto de triângulos.
• DConta apenas 1 triângulo equilátero, esquecendo que há dois (ACE e BDF).
• ENão corresponde a nenhuma contagem correta; 1/6 não é múltiplo de 1/20.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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