Questão 10 do IME 2019

Defina os dois lados: L(x)=(\cos x)^{2018} e R(x)=2-2^{(x/\pi)^2}. Como o expoente 2018 é par, L(x)\in[0,1].

Os dois lados são funções pares, então as soluções vêm em pares \pm x, além de x=0 se ele for solução.

1. Em x=0: L=1 e R=2-1=1. Logo x=0 é solução.
2. Para x\neq0, 2^{(x/\pi)^2}>1, então R<1. Além disso, R\ge 0 exige 2^{(x/\pi)^2}\le 2, ou seja, |x|\le\pi. Em x=\pi: L=1 e R=0, que não é solução.
3. Perto de 0, L\approx1-1009x^2 cai muito mais rápido que R\approx1-\frac{\ln2}{\pi^2}x^2. Assim L<R logo após 0. Em x=\pi/2: L=0 e R=2-2^{1/4}\approx0{,}81, ainda com L<R. Em (0,\pi/2] não há novo cruzamento: L despenca de 1 para quase 0 já com x muito pequeno, sempre abaixo de R\ge0{,}81.
4. Em (\pi/2,\pi): L é crescente, indo de 0 a 1, e R é decrescente, indo de 0{,}81 a 0. Em \pi/2 vale L<R e em \pi vale L>R. Uma função crescente e uma decrescente se cruzam exatamente uma vez, então há uma única solução a\in(\pi/2,\pi).

Pela simetria, -a também é solução. As soluções são -a, 0 e a, num total de 3.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aignora que x=0 satisfaz a equação, pois 1=2-1.
• Bconta apenas x=0 e esquece a solução em (\pi/2,\pi) e a sua simétrica.
• Cconta só o par \pm a, ou só duas das soluções, sem incluir x=0.
• Esupõe cruzamentos extras em (0,\pi/2), mas ali L<R o tempo todo.

Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Função exponencial.

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