PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Definimos a função f: ℕ \longrightarrow ℕ da seguinte forma:

\begin{cases} f(0) = 0 \\ f(1) = 1 \\ f(2n) = f(n), & n \ge 1 \\ f(2n + 1) = n^2, & n \ge 1 \end{cases}

Definimos a função g: ℕ \longrightarrow ℕ da seguinte forma: g(n) = f(n)f(n + 1).

Podemos afirmar que:

  1. A
    g é uma função sobrejetora.
  2. B
    g é uma função injetora.
  3. C
    f é uma função sobrejetora.
  4. D
    f é uma função injetora.
  5. E
    g(2018) tem mais do que 4 divisores positivos.
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Resolução comentada

Vamos calcular alguns valores de f: f(0)=0, f(1)=1, f(2)=f(1)=1, f(3)=1^2=1, f(4)=f(2)=1, f(5)=2^2=4, f(7)=3^2=9.

Pelas regras, f só assume valores que são quadrados perfeitos, pois f(2n)=f(n) repete um valor anterior e f(2n+1)=n^2 é quadrado. Logo:

  • f não é sobrejetora, pois nenhum n dá f(n)=2.
  • f não é injetora, pois f(1)=f(2)=1.

Para g(n)=f(n)f(n+1), o produto de dois quadrados perfeitos é quadrado perfeito. Então g não é sobrejetora, pois não atinge 2. Além disso, g(1)=f(1)f(2)=1 e g(2)=f(2)f(3)=1, então g não é injetora.

Resta a alternativa E. Vamos conferir:

  1. f(2018)=f(1009), e 1009=2\cdot 504+1, então f(1009)=504^2.
  2. f(2019): 2019=2\cdot 1009+1, então f(2019)=1009^2.
  3. g(2018)=504^2\cdot 1009^2.

Como 504=2^3\cdot 3^2\cdot 7, temos g(2018)=2^6\cdot 3^4\cdot 7^2\cdot 1009^2 (1009 é primo). O número de divisores é 7\cdot5\cdot3\cdot3=315, bem mais que 4.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ag só assume quadrados perfeitos (produto de quadrados), então nunca vale 2; não é sobrejetora.
  • Bg(1)=f(1)f(2)=1 e g(2)=f(2)f(3)=1, então g não é injetora.
  • Cf só assume quadrados perfeitos, logo não atinge 2.
  • Df(1)=f(2)=1 com 1\ne 2, então f não é injetora.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗