PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Números complexos

Seja z um número complexo tal que z^{12} \in \mathbb{R}, Re(z) = 1 e \arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). A soma dos inversos dos possíveis valores de |z| está no intervalo:

  1. A
    \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)
  2. B
    \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)
  3. C
    \left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)
  4. D
    \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)
  5. E
    \left(\frac{9}{2}, \frac{11}{2}\right)
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Resolução comentada

Como Re(z)=1, escrevemos z = 1 + bi, e o argumento \theta satisfaz \tg\theta = b, com \theta\in(0,\pi/2), portanto b>0.\n\nPara z=|z|(\cos\theta+i\,\sen\theta), temos z^{12}=|z|^{12}(\cos 12\theta + i\,\sen 12\theta). Ele é real quando \sen 12\theta=0, isto é, 12\theta = k\pi, ou \theta = \dfrac{k\pi}{12}.\n\nComo \theta\in(0,\pi/2), temos k=1,2,\dots,5.\n\nComo Re(z)=|z|\cos\theta=1, segue que |z|=\dfrac{1}{\cos\theta}, e o inverso é \cos\theta.\n\nA soma pedida é:\n\n

S=\cos15^\circ+\cos30^\circ+\cos45^\circ+\cos60^\circ+\cos75^\circ
\n\n1. \cos15^\circ+\cos75^\circ=\cos15^\circ+\sen15^\circ=\sqrt2\,\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt6}{2}\approx1{,}225.\n2. \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866.\n3. \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707.\n4. \cos60^\circ=0{,}5.\n\nSomando:\n\n
S\approx1{,}225+0{,}866+0{,}707+0{,}5=3{,}298
\n\nEsse valor está entre 2{,}5 e 3{,}5.\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima a soma; esquece alguns dos cinco ângulos possíveis.
  • BSoma só parte dos valores de \theta, ficando abaixo de 2{,}5.
  • DSuperestima a soma, por exemplo contando ângulos fora do intervalo (0,\pi/2).
  • ESuperestima muito a soma, por exemplo somando os módulos |z| em vez de seus inversos.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗