Questão 3 do IME 2019

Chame a=\log 3 e escreva cada entrada da matriz em função de a.

1. Segunda linha: \log 81 = 4a; \log 900 = \log(9\cdot 100)=2a+2; \log 300 = a+2.
2. Terceira linha: (\log 9)^2=(2a)^2=4a^2; 2+4a+2a^2 = 2(a+1)^2; (a+2)^2.

Agora cada coluna tem um fator comum e a forma (1,\,x,\,x^2):

• coluna 1: 4\,(1,\ a,\ a^2)
• coluna 2: 2\,(1,\ a+1,\ (a+1)^2)
• coluna 3: 1\,(1,\ a+2,\ (a+2)^2)

Pela propriedade dos determinantes, tiramos os fatores das colunas: 4\cdot 2\cdot 1 = 8.

O que sobra é um determinante de Vandermonde com x_1=a, x_2=a+1, x_3=a+2:

Logo o determinante vale 8\cdot 2 = 16.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIgnora os fatores 4 e 2 das colunas e o valor do Vandermonde.
• BCalcula só o Vandermonde (2) e esquece o fator 8 retirado das colunas.
• CAparece só como o fator da primeira coluna, sem completar o cálculo.
• DRetira o fator 8 mas esquece de multiplicar pelo Vandermonde, que vale 2.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Logaritmos e função logarítmica.

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