Questão 4 do IME 2019

Coloque x em evidência:

Para fatorar o cubo, procure uma raiz inteira. Testando x=-2: 6(-8)-5(4)+58+10=0, então -2 é raiz.

Dividindo o cubo por (x+2), obtemos 6x^2-17x+5. Conferindo: (x+2)(6x^2-17x+5)=6x^3-5x^2-29x+10.

Raízes de 6x^2-17x+5:

As raízes do polinômio são -2,\ 0,\ \frac13,\ \frac52. Como o coeficiente de x^4 é positivo, o polinômio é positivo para x maior que a maior raiz, e o sinal se alterna a cada raiz (todas simples):

1. x>\frac52: positivo.
2. \frac13<x<\frac52: negativo.
3. 0<x<\frac13: positivo.
4. -2<x<0: negativo.
5. x<-2: positivo.

Como queremos valores negativos, a solução é (-2,0)\cup\left(\frac13,\frac52\right).

Um intervalo (a,b) contido na solução precisa estar inteiro em uma dessas partes. Os comprimentos são:

• 0-(-2)=2
• \frac52-\frac13=\frac{15-2}{6}=\frac{13}{6}

Como \frac{13}{6}>2, o maior valor de b-a é \frac{13}{6}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa só o intervalo (-2,0), que tem comprimento 2, e ignora o intervalo (1/3,5/2), que é maior.
• CÉ o comprimento de (0,1/3), onde o polinômio é positivo, e não faz parte da solução.
• DUsa 5/2 como comprimento, esquecendo de subtrair a raiz 1/3 do extremo inferior.
• ENão corresponde a nenhuma diferença entre raízes consecutivas; vem de erro na conta das raízes.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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