PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Os ângulos \theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_{100} são os termos de uma progressão aritmética na qual \theta_{11} + \theta_{26} + \theta_{75} + \theta_{90} = \frac{\pi}{4}. O valor de \sen(\sum_{i=1}^{100} \theta_i) é:

  1. A
    -1
  2. B
    -\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. C
    0
  4. D
    \frac{\sqrt{2}}{2}
  5. E
    1
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Resolução comentada

Numa PA, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é constante: \theta_i + \theta_{101-i} = \theta_1 + \theta_{100}.

Vamos usar isso nos índices dados:

  1. 11 + 90 = 101, logo \theta_{11} + \theta_{90} = \theta_1 + \theta_{100}.
  2. 26 + 75 = 101, logo \theta_{26} + \theta_{75} = \theta_1 + \theta_{100}.

Somando as duas igualdades:

\theta_{11} + \theta_{26} + \theta_{75} + \theta_{90} = 2(\theta_1 + \theta_{100}) = \frac{\pi}{4}

Então \theta_1 + \theta_{100} = \dfrac{\pi}{8}.

A soma dos 100 termos da PA é:

S = \frac{(\theta_1 + \theta_{100})\cdot 100}{2} = 50 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{25\pi}{4}

Reduzindo à primeira volta: \dfrac{25\pi}{4} = 6\pi + \dfrac{\pi}{4}. Como 6\pi são três voltas completas, o seno é o de \dfrac{\pi}{4}:

\sen\left(\frac{25\pi}{4}\right) = \sen\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum arco côngruo a \pi/4; o seno de 25\pi/4 não é -1.
  • BSinal trocado: o arco 25\pi/4 cai no primeiro quadrante, onde o seno é positivo.
  • CSeria o resultado se a soma fosse múltiplo de \pi, o que não ocorre.
  • EExigiria arco côngruo a \pi/2, mas o arco é côngruo a \pi/4.

Assuntos: Progressão aritmética, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗