Questão 15 do IME 2019

Question

Em um tetraedro ABCD, os ângulos A\hat{B}C e A\hat{C}B são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A área do \Delta ABC é igual à área do \Delta ACD, e o ângulo M\hat{A}D é igual ao ângulo M\hat{D}A, onde M é ponto médio de BC. Calcule a área total do tetraedro ABCD, em \text{cm}^2, sabendo que BC = 2cm, e que o ângulo B\hat{A}C é igual a 30^\circ.

A
(2 - \sqrt{3})
B
(2 + \sqrt{3})
C
4(2 - \sqrt{3})
D
4(2 + \sqrt{3})
E
4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Em um tetraedro ABCD, os ângulos A\hat{B}C e A\hat{C}B são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A área do \Delta ABC é igual à área do \Delta ACD, e o ângulo M\hat{A}D é igual ao ângulo M\hat{D}A, onde M é ponto médio de BC. Calcule a área total do tetraedro ABCD, em \text{cm}^2, sabendo que BC = 2cm, e que o ângulo B\hat{A}C é igual a 30^\circ.

A
(2 - \sqrt{3})
B
(2 + \sqrt{3})
C
4(2 - \sqrt{3})
D
4(2 + \sqrt{3})
E
4

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Resolução comentada

Como A\hat{B}C = A\hat{C}B, o triângulo ABC é isósceles de base BC=2, e AB=AC. Com B\hat{A}C=30^\circ, a mediana AM é também altura e bissetriz, então B\hat{A}M=15^\circ e

AM=\frac{BM}{\tg 15^\circ}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}.

Área de ABC: \dfrac{2\cdot(2+\sqrt{3})}{2}=2+\sqrt{3}.

Como M\hat{A}D=M\hat{D}A, o triângulo MAD é isósceles com MA=MD=2+\sqrt{3}.

AD\perp BC e BC\perp AM (pois AM é altura), logo BC é perpendicular ao plano AMD. Assim BC\perp MD, e MD é a altura de BCD relativa a BC; do mesmo modo, DB=DC (M é ponto médio e DM\perp BC).

Área de BCD: \dfrac{2\cdot(2+\sqrt{3})}{2}=2+\sqrt{3}.

Área de ACD: é igual à de ABC, ou seja, 2+\sqrt{3}. Por simetria (DB=DC e AB=AC, com AD comum), ABD é congruente a ACD, e também vale 2+\sqrt{3}.

Área total:

4\,(2+\sqrt{3}).

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem confunde \tg 15^\circ = 2-\sqrt{3} com AM, esquecendo que AM = BM/\tg 15^\circ = 2+\sqrt{3}.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa \tg 15^\circ = 2+\sqrt{3} invertido e obtém valor menor que a área de uma única face.
BÉ a área de apenas uma face, sem multiplicar por 4.
CTroca \tg 15^\circ por \cotg 15^\circ, obtendo 2-\sqrt{3} como área de cada face.
EValor sem base na conta; as quatro faces têm área 2+\sqrt{3} cada.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 15 no caderno Prova objetiva do IME 2019

Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗