Questão 14 do IME 2019

Question

Considere as afirmações abaixo:

I) se três pontos são colineares, então eles são coplanares;
II) se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;
III) se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos;
IV) duas retas não paralelas determinam um plano;
V) se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.

Entre essas afirmações:

A
apenas uma é verdadeira;
B
apenas duas são verdadeiras;
C
apenas três são verdadeiras;
D
apenas quatro são verdadeiras;
E
todas são verdadeiras.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Geometria espacial de posição

Considere as afirmações abaixo:

I) se três pontos são colineares, então eles são coplanares;
II) se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;
III) se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos;
IV) duas retas não paralelas determinam um plano;
V) se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.

Entre essas afirmações:

A
apenas uma é verdadeira;
B
apenas duas são verdadeiras;
C
apenas três são verdadeiras;
D
apenas quatro são verdadeiras;
E
todas são verdadeiras.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Vamos testar cada afirmação com os postulados da geometria espacial.

I) Verdadeira. Três pontos colineares estão sobre uma reta, e uma reta está contida em pelo menos um plano (na verdade, em infinitos). Logo, os três pontos são coplanares.

II) Falsa. Ter um ponto em comum com o plano não basta: a reta pode ser secante (furar o plano). Para estar contida, precisaria de pelo menos dois pontos no plano.

III) Falsa. Quatro pontos não coplanares determinam planos tomando-se três a três. Isso dá \binom{4}{3}=4 planos, e não 6.

IV) Falsa. Retas não paralelas podem ser concorrentes (determinam um plano) ou reversas (não existe plano que as contenha). Duas retas só determinam plano se forem concorrentes ou paralelas distintas.

V) Verdadeira. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, eles se interceptam, e a interseção de dois planos distintos é sempre uma reta.

São verdadeiras apenas I e V, ou seja, duas afirmações.

Alternativa B.

Pegadinha: A afirmação IV engana ao tratar 'não paralelas' como 'concorrentes', esquecendo as retas reversas; a III engana ao contar 6 (pares de pontos) em vez de 4 (trios).

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só uma verdadeira, esquecendo que I e V são ambas verdadeiras.
CAceita como verdadeira uma das afirmações II, III ou IV, todas falsas.
DConsidera verdadeiras afirmações falsas, como III (6 planos) e IV (retas reversas).
EIgnora que II, III e IV têm contraexemplos.

Assunto: Geometria espacial de posição.

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Questão 14 no caderno Prova objetiva do IME 2019

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