PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Em um setor circular de 45^\circ, limitado pelos raios \overline{OA} e \overline{OB} iguais a R, inscreve-se um quadrado MNPQ, onde \overline{MN} está apoiado em \overline{OA} e o ponto Q sobre o raio \overline{OB}. Então, o perímetro do quadrado é:

  1. A
    4R
  2. B
    2R
  3. C
    2R\sqrt{2}
  4. D
    4R\sqrt{5}
  5. E
    4R\frac{\sqrt{5}}{5}
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Resolução comentada

Interpretação: o setor tem centro O, raios OA e OB com ângulo de 45^\circ. O quadrado tem o lado MN sobre OA, o vértice Q sobre o raio OB e o vértice P sobre o arco (é isso que significa estar inscrito no setor). Seja L o lado do quadrado.

Coloque O na origem, com OA no eixo x. A reta OB forma 45^\circ com OA, logo é a reta y = x.

  1. M e N estão sobre o eixo x, e Q e P estão na altura L.
  2. Q está sobre OB e tem y = L. Então Q=(L, L), pois y=x.
  3. Como MQ é vertical, M=(L,0). Como MN = L e N fica mais afastado de O, N=(2L,0).
  4. Então P=(2L, L).
  5. P está sobre o arco de raio R, logo OP = R:
(2L)^2 + L^2 = R^2 \Rightarrow 5L^2 = R^2 \Rightarrow L = \frac{R}{\sqrt{5}} = \frac{R\sqrt{5}}{5}
  1. O perímetro é:
4L = \frac{4R\sqrt{5}}{5}

O resultado coincide com a alternativa E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • APerímetro igual a 4R exigiria lado R, que é o raio inteiro, impossível para um quadrado dentro do setor.
  • BLado R/2 não satisfaz 5L^2=R^2; vem de supor o quadrado com vértice em posição errada.
  • CUsa a diagonal ou \sqrt{2} do ângulo de 45^\circ, sem impor que P esteja no arco.
  • DMultiplica por \sqrt{5} em vez de dividir: L=R\sqrt5 seria maior que o raio.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗