PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do IME 2019

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 45^0 no sentido anti-horário em torno da origem. A equação dessa hipérbole após a rotação é:

  1. A
    xy = 2
  2. B
    x^2 + xy - y^2 = 4
  3. C
    x^2 - y^2 = 2
  4. D
    xy = -2
  5. E
    x^2 - y^2 = -2
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Resolução comentada

Hipérbole equilátera tem a=b. O eixo (transverso) mede 2a=4, logo a=2 e b=2. Com centro na origem e focos no eixo das abscissas, a equação antes da rotação é:

\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1 \;\Rightarrow\; x^2-y^2=4

Agora vem a rotação de 45^\circ no sentido anti-horário. Um ponto (x,y) da curva original vai para (X,Y) dado por:

X = x\cos45^\circ - y\,\sen45^\circ,\qquad Y = x\,\sen45^\circ + y\cos45^\circ

Para achar a equação nova, precisamos escrever x e y em função de X e Y (rotação inversa, de -45^\circ):

  1. x = X\cos45^\circ + Y\,\sen45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}(X+Y)
  2. y = -X\,\sen45^\circ + Y\cos45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}(Y-X)

Substituindo em x^2-y^2=4:

x^2-y^2=\frac12\left[(X+Y)^2-(Y-X)^2\right]=\frac12\cdot 4XY=2XY

Logo 2XY=4, ou seja, XY=2.

Confira: o vértice (2,0) vai para (\sqrt2,\sqrt2), e \sqrt2\cdot\sqrt2=2. Correto.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem troca o sentido da rotação e obtém xy=-2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BEquação sem sentido para a rotação; o termo xy misturado com x^2-y^2 não surge de uma hipérbole equilátera girada de 45^\circ.
  • CMantém a forma x^2-y^2 (hipérbole sem girar) e usa constante errada.
  • DSeria o resultado de uma rotação de -45^\circ (sentido horário), com sinal trocado.
  • EHipérbole com focos no eixo das ordenadas, sem rotação; não corresponde ao enunciado.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Transformações geométricas e localização.

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Fonte: IME 2019 · Prova objetiva. Prova oficial ↗