Questão 8 do IME 2018

Question

Seja a função H: \mathbb{C} \to \mathbb{C} definida por

H(s) = \frac{a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{b_2 s^2 + b_1 s + a_0}

com a_j e b_k reais, para j = 0,1,2,3 e k = 0,1,2. Seja a função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} em que f(w) é a parte real de H(iw) em que i = \sqrt{-1} é a unidade imaginária e w \in \mathbb{R}. A afirmação correta a respeito de f(w) é:

A
f(w) é uma função impar.
B
f(w) é uma função par.
C
f(w) é sempre negativa.
D
f(w) é sempre positiva.
E
f(w) é uma função periódica.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 do IME 2018

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Números complexos

Seja a função H: \mathbb{C} \to \mathbb{C} definida por

H(s) = \frac{a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{b_2 s^2 + b_1 s + a_0}

com a_j e b_k reais, para j = 0,1,2,3 e k = 0,1,2. Seja a função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} em que f(w) é a parte real de H(iw) em que i = \sqrt{-1} é a unidade imaginária e w \in \mathbb{R}. A afirmação correta a respeito de f(w) é:

A
f(w) é uma função impar.
B
f(w) é uma função par.
C
f(w) é sempre negativa.
D
f(w) é sempre positiva.
E
f(w) é uma função periódica.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Sabemos que H é uma razão de polinômios com coeficientes reais. Por isso, vale H(\bar{s}) = \overline{H(s)}: o conjugado de H(s) é H calculado no conjugado de s.

Como w é real, o conjugado de iw é -iw. Então:

H(-iw) = H(\overline{iw}) = \overline{H(iw)}.
A parte real de um número complexo e a de seu conjugado são iguais.
Logo, f(-w) = \text{Re}\,H(-iw) = \text{Re}\,\overline{H(iw)} = \text{Re}\,H(iw) = f(w).

Portanto f é par.

Confirmação rápida com o numerador: a_3(iw)^3 + a_2(iw)^2 + a_1(iw) + a_0 = (a_0 - a_2w^2) + i(a_1w - a_3w^3). A parte real do numerador é par em w e a parte imaginária é ímpar. O mesmo ocorre no denominador, (a_0 - b_2w^2) + i\,b_1 w. Multiplicando pelo conjugado do denominador, a parte real do quociente fica \dfrac{P_rD_r + P_iD_i}{D_r^2 + D_i^2}. Cada termo é produto de duas funções pares ou de duas ímpares, então é par. O denominador também é par.

Não há razão para f ter sinal fixo nem ser periódica: é uma função racional em w.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Af(-w)=f(w), e não -f(w); a parte ímpar é a imaginária, não a real.
CNada impõe sinal negativo; o sinal depende dos coeficientes e de w.
DNada impõe sinal positivo; basta variar os coeficientes reais.
EÉ uma função racional em w, que não se repete periodicamente.

Assuntos: Números complexos, Conceito de função, composta e inversa.

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Questão 8 no caderno Prova objetiva do IME 2018

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