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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do IME 2018

Prova objetiva · Matemática: Polinômios

Seja P(x) o polinômio de menor grau que passa pelos pontos A(2,-4+3\sqrt{3}), B(1,3\sqrt{2}-2), C(\sqrt{2},\sqrt{3}) e D(\sqrt{3},\sqrt{2}). O resto da divisão de P(x) por (x-3) é:

  1. A
    8\sqrt{3}-5\sqrt{2}-6
  2. B
    6\sqrt{3}-4\sqrt{2}-1
  3. C
    9\sqrt{3}-8\sqrt{2}-2
  4. D
    4\sqrt{3}-10\sqrt{2}-3
  5. E
    4\sqrt{3}-\sqrt{2}-2
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Resolução comentada

O resto da divisão de P(x) por (x-3) é P(3). Com 4 pontos, o polinômio de menor grau tem grau no máximo 3.

Observe os pontos C e D: P(\sqrt2)+\sqrt2=\sqrt3+\sqrt2 e P(\sqrt3)+\sqrt3=\sqrt2+\sqrt3. Chamando s=\sqrt2+\sqrt3, o polinômio P(x)+x-s tem raízes \sqrt2 e \sqrt3. Logo:

P(x)+x-s=(x^2-sx+\sqrt6)(ax+b)
  1. Em x=1: P(1)+1-s=2\sqrt2-\sqrt3-1 e 1-s+\sqrt6=(1-\sqrt2)(1-\sqrt3). Dividindo, obtém-se a+b=\sqrt3-\sqrt2.
  2. Em x=2: P(2)+2-s=-2+2\sqrt3-\sqrt2 e 4-2s+\sqrt6=(2-\sqrt2)(2-\sqrt3). Dividindo, obtém-se 2a+b=\sqrt3-\sqrt2.
  3. Subtraindo as duas equações, a=0 e b=\sqrt3-\sqrt2.

Em x=3: 9-3s+\sqrt6=9-3\sqrt2-3\sqrt3+\sqrt6. Multiplicando por (\sqrt3-\sqrt2):

(9-3\sqrt2-3\sqrt3+\sqrt6)(\sqrt3-\sqrt2)=7\sqrt3-6\sqrt2-3

Então P(3)=7\sqrt3-6\sqrt2-3+s-3=8\sqrt3-5\sqrt2-6.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor que não resulta de P(3); provém de erro nas contas com os radicais.
  • CValor que não resulta de P(3); provém de erro nas contas com os radicais.
  • DValor que não resulta de P(3); provém de erro nas contas com os radicais.
  • EValor que não resulta de P(3); provém de erro nas contas com os radicais.

Assunto: Polinômios.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗