PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do IME 2018

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Sejam x_1, x_2, x_3 e x_4 os quatro primeiros termos de uma P.A. com x_1 = x e razão r, com x, r \text{ }\in \Re. O determinante de \begin{bmatrix} x_1 & x_1 & x_1 & x_1 \\ x_1 & x_2 & x_2 & x_2 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \end{bmatrix} é:

  1. A
    0
  2. B
    x^4.r
  3. C
    x^4.r^3
  4. D
    x.r^4
  5. E
    x.r^3
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Resolução comentada

Vamos simplificar o determinante com operações de Jacobi, que não alteram seu valor: subtrair uma linha de outra.

Os termos da P.A. são x_1=x, x_2=x+r, x_3=x+2r, x_4=x+3r.

Faça, de baixo para cima, L_4 \leftarrow L_4 - L_3, depois L_3 \leftarrow L_3 - L_2 e L_2 \leftarrow L_2 - L_1 (cada uma usando as linhas originais):

  1. L_2 - L_1 = (0,\ x_2-x_1,\ x_2-x_1,\ x_2-x_1) = (0,r,r,r)
  2. L_3 - L_2 = (0,\ 0,\ x_3-x_2,\ x_3-x_2) = (0,0,r,r)
  3. L_4 - L_3 = (0,\ 0,\ 0,\ x_4-x_3) = (0,0,0,r)

A matriz fica triangular superior:

\begin{bmatrix} x & x & x & x \\ 0 & r & r & r \\ 0 & 0 & r & r \\ 0 & 0 & 0 & r \end{bmatrix}

O determinante de uma matriz triangular é o produto da diagonal principal:

\det = x\cdot r\cdot r\cdot r = x\,r^3

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ao determinante só seria nulo se x=0 ou r=0, o que não é garantido; as linhas não são proporcionais.
  • Busa x^4, como se todos os elementos da diagonal fossem x, e só um fator r.
  • Cmistura expoentes: x^4 r^3 ignora que só a primeira entrada da diagonal contém x.
  • Dinverte os expoentes, trocando r^3 por r^4.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão aritmética.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗