Questão 6 do IME 2018

Use a diferença de quadrados: X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y) = 2017.

Como 2017 é primo, a única fatoração em naturais é 1 \cdot 2017. Como X+Y \geq X-Y, temos:

1. X - Y = 1
2. X + Y = 2017

Somando as duas equações: 2X = 2018, logo X = 1009.

Subtraindo: 2Y = 2016, logo Y = 1008.

Verificação de que 2017 é primo: não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 nem 43, e \sqrt{2017} < 45. Portanto a fatoração é única.

Agora calcule X^2 + Y^2:

Outra forma de conferir: X^2+Y^2 = \frac{(X+Y)^2+(X-Y)^2}{2} = \frac{2017^2+1}{2} = \frac{4068289+1}{2} = 2034145.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com 1009^2+1008^2; resulta de erro de cálculo nos quadrados.
• BNão corresponde à soma dos quadrados de 1009 e 1008; erro aritmético.
• DDifere da resposta correta por 10000, típico de erro ao somar os quadrados.
• EValor sem relação com X=1009 e Y=1008; erro de cálculo.

Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Divisibilidade, MMC e MDC.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.