PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2018

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua área total é de 28\text{ cm}^2. Calcule o valor da diagonal do referido prisma.

  1. A
    \sqrt{17}\text{ cm}
  2. B
    \sqrt{19}\text{ cm}
  3. C
    \sqrt{21}\text{ cm}
  4. D
    2\sqrt{7}\text{ cm}
  5. E
    \sqrt{29}\text{ cm}
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Resolução comentada

Se as arestas formam uma PG de razão 2, podemos chamá-las de a, 2a e 4a.

A área total de um prisma retangular é 2(xy+xz+yz), onde x, y e z são as arestas:

  1. Produtos dois a dois: a\cdot 2a = 2a^2; a\cdot 4a = 4a^2; 2a\cdot 4a = 8a^2.
  2. Soma: 2a^2+4a^2+8a^2 = 14a^2.
  3. Área total: 2\cdot 14a^2 = 28a^2.
  4. Como a área vale 28\ \text{cm}^2: 28a^2 = 28, logo a^2 = 1 e a = 1\ \text{cm}.

As arestas medem 1, 2 e 4\ \text{cm}.

A diagonal do prisma é d=\sqrt{x^2+y^2+z^2} (Pitágoras aplicado duas vezes no espaço):

d=\sqrt{1^2+2^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}\ \text{cm}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A\sqrt{17} vem de somar só 1^2+4^2, ignorando a aresta de 2 cm.
  • B\sqrt{19} não corresponde às arestas 1, 2 e 4; resulta de erro na soma dos quadrados.
  • D2\sqrt{7}=\sqrt{28} confunde a área total (28) com a soma dos quadrados das arestas.
  • E\sqrt{29} vem de erro de conta na soma dos quadrados (por exemplo, usar 8 no lugar de 4 numa aresta ao quadrado).

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Progressão geométrica.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗