Questão 14 do IME 2018

Chame a maior diagonal de D. Num heptágono regular inscrito, cada corda é proporcional ao seno de metade do seu arco, e os arcos centrais valem \frac{2\pi}{7} (lado), \frac{4\pi}{7} (menor diagonal) e \frac{6\pi}{7} (maior diagonal). Logo, para o raio R:

l=2R\,\sen\frac{\pi}{7}, d=2R\,\sen\frac{2\pi}{7}, D=2R\,\sen\frac{3\pi}{7}.

Para relacionar as três medidas, use o teorema de Ptolomeu (num quadrilátero inscrito, produto das diagonais = soma dos produtos dos lados opostos) em dois quadriláteros.

1. Em quatro vértices consecutivos ABCD: lados l, l, l, diagonais d e d, e o lado AD=D. Então d\cdot d = l\cdot l + l\cdot D, ou seja, d^2=l^2+lD.

2. Em ABCE (pulando D): lados AB=l, BC=l, CE=d, EA=d, diagonais AC=d e BE=D. Então d\cdot D = l\cdot d + l\cdot D.

Da equação do passo 2, dD - lD = ld, ou seja, D(d-l)=ld:

Conferência numérica com R=0{,}5: l\approx0{,}4339, d\approx0{,}7818, D\approx0{,}9749. A fórmula dá \frac{0{,}4339\cdot0{,}7818}{0{,}3479}\approx0{,}975, que bate com D.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Bd^2/(d-l) não satisfaz a relação de Ptolomeu; numericamente dá cerca de 1,76, muito maior que a maior diagonal.
• Ctroca o sinal do denominador (d+l), dando um valor menor que l, impossível para a maior diagonal.
• Dl^2/(d+l) é menor que o lado, então não pode ser a maior diagonal.
• E3d/2\approx1{,}17 não corresponde à maior diagonal (\approx0{,}975); a proporção não é fixa assim.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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