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Questão 16 do IME 2018

Prova objetiva · Física · Física: Reflexão total e dispersão da luz

Esquema de uma fibra óptica com núcleo de índice de refração $n_1$, entre duas camadas de casca de índice $n_2$, e ar de índice $n_0$ à esquerda. Um raio incidente entra pela face esquerda do núcleo, formando o ângulo $\theta_a$ com o eixo horizontal traço-ponto. No núcleo, o raio atinge a interface superior núcleo-casca e é refletido para baixo, sendo identificado como “raio refletido”. Uma linha tracejada mostra um raio que atravessa a casca superior, identificado como “raio refratado”. Uma normal vertical traço-ponto aparece no ponto de reflexão. As regiões estão identificadas como “ar”, “núcleo” e “casca”, e há uma indicação de interrupção à direita da fibra.

As fibras ópticas funcionam pelo Princípio da Reflexão Total, que ocorre quando os raios de luz que seguem determinados percursos dentro da fibra são totalmente refletidos na interface núcleo-casca, permanecendo no interior do núcleo. Considerando apenas a incidência de raios meridionais e que os raios refratados para a casca são perdidos, e ainda, sabendo que os índices de refração do ar, do núcleo e da casca são dados, respectivamente, por n_0, n_1, e n_2 (n_1 > n_2 > n_0), o ângulo máximo de incidência \theta_a, na interface ar-núcleo, para o qual ocorre a reflexão total no interior da fibra é:

Considerações:

  • raios meridionais são aqueles que passam pelo centro do núcleo; e
  • todas as opções abaixo correspondem a números reais.
  1. A
    \operatorname{arc\,sen}\left(\frac{n_2^2-n_0^2}{n_1}\right)
  2. B
    \operatorname{arc\,sen}\left(\frac{n_1^2-n_2^2}{n_0}\right)
  3. C
    \operatorname{arc\,sen}\left(\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_0}\right)
  4. D
    \operatorname{arc\,sen}\left(\frac{\sqrt{n_2^2-n_0^2}}{n_1}\right)
  5. E
    \operatorname{arc\,cos}\left(\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_0}\right)
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Resolução comentada

Esta é a conta clássica da abertura numérica de uma fibra óptica. São duas refrações/reflexões encadeadas.

Na face de entrada (ar → núcleo): o raio incide com ângulo \theta_a em relação ao eixo e, como a face é perpendicular ao eixo, esse é o ângulo com a normal da face. Ele refrata com ângulo \theta_r:

n_0\,\sen\theta_a = n_1\,\sen\theta_r

Na interface núcleo-casca: a normal é vertical, então o ângulo de incidência \alpha é complementar de \theta_r: \alpha = 90^\circ - \theta_r.

Há reflexão total quando \alpha \ge \alpha_c, com \sen\alpha_c = \dfrac{n_2}{n_1} (luz indo do meio mais refringente para o menos refringente).

Como \sen\alpha = \cos\theta_r, a condição fica:

\cos\theta_r \ge \frac{n_2}{n_1}

Isso equivale a \sen\theta_r \le \sqrt{1-\dfrac{n_2^2}{n_1^2}} = \dfrac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_1}.

Substituindo na lei de Snell da entrada, no caso limite (ângulo máximo):

\sen\theta_a = \frac{n_1}{n_0}\,\sen\theta_r = \frac{n_1}{n_0}\cdot\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_1} = \frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_0}

Logo:

\theta_a = \operatorname{arc\,sen}\left(\frac{\sqrt{n_1^2-n_2^2}}{n_0}\right)

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AExpressão sem raiz e com n_1 no denominador, que não sai da combinação das leis de Snell.
  • BEsquece a raiz quadrada ao passar de \cos\theta_r para \sen\theta_r.
  • DUsa n_2^2-n_0^2 sobre n_1, como se o ângulo limite fosse entre casca e ar.
  • EUsa arco cosseno, mas o ângulo \theta_a é definido pelo seno na lei de Snell.

Assuntos: Reflexão total e dispersão da luz, Refração da luz e lei de Snell.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗