PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do IME 2018

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Determine o valor de a na expressão abaixo, sabendo-se que 0 < a < 1,

\frac{1}{16} \log_a 256^{\operatorname{colog}_{(a^2)} 256^{\log_{(a^4)} 256^{\dots^{\operatorname{colog}_{\left(a^{(2^{65})}\right)} 256}}}} = \operatorname{Im}\{Z\}

onde Z é um número complexo que satisfaz a equação:

2^{4033} Z^2 - 2^{2017} Z + 1 = 0.

Obs: \operatorname{Im}(Z) é a parte imaginária do número complexo Z.

  1. A
    \frac{1}{4}
  2. B
    \frac{1}{8}
  3. C
    \frac{1}{16}
  4. D
    \frac{1}{32}
  5. E
    \frac{1}{64}
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Resolução comentada

Chame x=\log_a 256. Como 0<a<1, esse número é negativo.

Para qualquer y e qualquer k, vale \log_{a^{2^k}} 256^{y}=y\cdot\dfrac{\log_a 256}{2^k}=\dfrac{y\,x}{2^k}. O colog é o oposto do log.

As bases são a^{2^k}, com k=1,\dots,65. O colog aparece nos k ímpares e o log nos k pares.

  1. Começando de dentro para fora, cada passo multiplica o valor por x/2^k, com sinal negativo quando k é ímpar. Isso dá 66-k fatores de x no expoente c_k.
  2. O expoente mais externo é c_1=(-1)^{33}\dfrac{x^{65}}{2^{1+2+\dots+65}}=-\dfrac{x^{65}}{2^{2145}}, pois há 33 ímpares entre 1 e 65 e 1+2+\dots+65=2145.
  3. O último log, de base a, multiplica por x. O lado esquerdo vale \dfrac1{16}\cdot x\cdot c_1=-\dfrac{x^{66}}{16\cdot 2^{2145}}.

Agora o lado direito. Seja u=2^{2016{,}5}Z. Então 2^{4033}Z^2=u^2 e 2^{2017}Z=\sqrt2\,u, e a equação vira u^2-\sqrt2\,u+1=0.

As raízes são u=\dfrac{\sqrt2\pm i\sqrt2}{2}, com parte imaginária \pm2^{-1/2}. Logo \operatorname{Im}Z=\pm2^{-2017}.

O lado esquerdo é negativo, então tomamos \operatorname{Im}Z=-2^{-2017}:

\frac{x^{66}}{2^{4}\cdot2^{2145}}=2^{-2017}\Rightarrow x^{66}=2^{132}\Rightarrow |x|=4.

Como x<0, temos x=-4. Então \log_a256=-4, ou seja, a^{-4}=256=4^4, e portanto a=\dfrac14.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResulta de a^{-3}=512-tipo de erro: ignora que |x|=4 e usa um valor errado de \log_a 256.
  • CCorresponderia a \log_a256=-2, o que não satisfaz x^{66}=2^{132}.
  • DCorresponderia a \log_a256=-8/5, valor sem relação com |x|=4.
  • ECorresponderia a \log_a256=-4/3, valor sem relação com |x|=4.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Números complexos.

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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗