PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 10 do IME 2018
Seja o seguinte sistema de equações, em que s é um número real:
\begin{cases} x_1 + x_2 - sx_3 = 0 \\ -2x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ sx_1 - 2x_2 = 0 \end{cases}
Escolha uma faixa de valores de s em que as soluções do sistema são todas negativas.
- As < -2
- B-2 < s < 0
- C0 < s < 1
- D1 < s < 2
- Es > 2
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
Resolva o sistema em função de s, usando a terceira equação para eliminar variáveis.
- Da terceira equação: x_2 = \dfrac{s x_1}{2}.
- Na primeira: s x_3 = x_1 + x_2 = x_1\left(1+\dfrac{s}{2}\right), então x_3 = \dfrac{(2+s)\,x_1}{2s} (com s\neq 0).
- Na segunda: x_1\left[-2+\dfrac{s}{2}+\dfrac{2+s}{2s}\right]=1. Com denominador comum 2s, o colchete vira \dfrac{s^2-3s+2}{2s}=\dfrac{(s-1)(s-2)}{2s}.
Logo:
x_1=\frac{2s}{(s-1)(s-2)},\quad x_2=\frac{s^2}{(s-1)(s-2)},\quad x_3=\frac{s+2}{(s-1)(s-2)}
Para s=0 o sistema não tem a forma acima, e as soluções não são todas negativas.
O numerador de x_2 é s^2>0, então x_2<0 exige (s-1)(s-2)<0, ou seja, 1<s<2.
Nesse intervalo, s>0 e s+2>0, e o denominador é negativo. Assim, x_1<0 e x_3<0 também.
Portanto, as três incógnitas são negativas apenas para 1<s<2.
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
- APara s<-2, (s-1)(s-2)>0, então x_2>0; o sistema tem solução positiva.
- BPara -2<s<0, (s-1)(s-2)>0, então x_2>0 e x_1<0; as soluções não são todas negativas.
- CPara 0<s<1, (s-1)(s-2)>0, então x_2>0 e todas as incógnitas ficam positivas.
- EPara s>2, o denominador é positivo e todas as incógnitas são positivas.
Assuntos: Sistemas lineares, Inequações e desigualdades.
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Fonte: IME 2018 · Prova objetiva. Prova oficial ↗