Questão 12 do IME 2018

Primeiro, simplifique \tg(\operatorname{arcsen}(3/5)). Se \theta=\operatorname{arcsen}(3/5), então \sen\theta=3/5 e, no primeiro quadrante, \cos\theta=4/5 (triângulo 3-4-5). Logo \tg\theta=3/4.

A equação fica:

O lado esquerdo está em (0,\pi/2) para x>0 e é crescente. O lado direito é decrescente para x>0. Então há no máximo uma raiz positiva, e basta localizá-la pelo sinal de f(x)=\operatorname{arctg}(3x/4)-\frac{2\pi}{x+2}.

1. x=1: \operatorname{arctg}(0{,}75)\approx0{,}644 e 2\pi/3\approx2{,}094. Então f<0.
2. x=2: \operatorname{arctg}(1{,}5)\approx0{,}983 e 2\pi/4\approx1{,}571. Então f<0.
3. x=3: \operatorname{arctg}(2{,}25)\approx1{,}153 e 2\pi/5\approx1{,}257. Então f<0.
4. x=4: \operatorname{arctg}(3)\approx1{,}249 e 2\pi/6\approx1{,}047. Então f>0.

A função muda de sinal entre 3 e 4, e a raiz está em (3,4].

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AEm x=1 o arco tangente vale cerca de 0,64 e o lado direito cerca de 2,09, então ainda não há igualdade.
• BEm x=2 o lado esquerdo (≈0,98) ainda é menor que o direito (≈1,57).
• CEm x=3 o lado esquerdo (≈1,15) ainda é menor que o direito (≈1,26); a raiz só vem depois.
• EA raiz já ocorre antes de 4, pois em x=4 o lado esquerdo já supera o direito.

Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Trigonometria no triângulo retângulo.

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