Questão 15 do IME 2017

Sejam r, s, t as raízes. Pelas relações de Girard: rs+rt+st=80, rst=c e b=r+s+t.

Condição sobre c. Se c tem d divisores positivos, o produto de todos eles é c^{d/2}. Retirando o próprio c, sobra c^{d/2-1}. Igualando a c^2: d/2-1=2, logo d=6. Assim, c=p^5 ou c=p^2q, com p e q primos.

Condição sobre as raízes. Duas raízes, r e s, dividem 80, e rs+t(r+s)=80, então

Testando os pares de divisores de 80 (1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, ...):

1. (1,2): t=\frac{78}{3}=26. Então c=52=2^2\cdot 13, com 6 divisores. ✓
2. (2,4): t=12, c=96, que tem 12 divisores. ✗
3. (2,5): t=10, c=100, que tem 9 divisores. ✗
4. (1,8) e (4,8) dão t igual a uma das raízes, e os demais pares não dão t inteiro. ✗

Portanto as raízes são 1, 2 e 26. Conferindo: 2+26+52=80 ✓.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhum conjunto de raízes que satisfaça todas as condições.
• BNão corresponde a nenhum conjunto de raízes que satisfaça todas as condições.
• CNão corresponde a nenhum conjunto de raízes que satisfaça todas as condições.
• DNão corresponde a nenhum conjunto de raízes que satisfaça todas as condições.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Equações polinomiais e relações de Girard.

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