Questão 14 do IME 2017

Um tronco com 12 vértices tem 6 vértices em cada base, então as bases são hexágonos regulares de lados a e b.

O volume do tronco é V=\frac{h}{3}\left(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\right).

1. Perímetros: 6a+6b=36, logo a+b=6.

2. Áreas: o hexágono regular tem área \frac{3\sqrt{3}}{2}\,l^2. Então \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2)=30\sqrt{3}, o que dá a^2+b^2=20.

3. Produto: (a+b)^2=a^2+b^2+2ab, então 36=20+2ab e ab=8.

4. Como as bases são semelhantes, \sqrt{A_1A_2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,ab=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 8=12\sqrt{3}.

5. Volume:
   

   V=\frac{3}{3}\left(30\sqrt{3}+12\sqrt{3}\right)=42\sqrt{3}\ \text{cm}^3

(Conferindo: a e b são raízes de x^2-6x+8=0, ou seja, 2 e 4, e as áreas são 6\sqrt{3} e 24\sqrt{3}, somando 30\sqrt{3}. A média geométrica é \sqrt{144\cdot 3}/... = 12\sqrt{3}, coerente.)

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem \sqrt{3}, que não vem de nenhuma conta correta com as áreas dadas.
• BDivide por 3 o resultado de forma indevida, mexendo no fator \sqrt{3}.
• CValor sem base no cálculo; não decorre da fórmula do tronco.
• DAparece \sqrt{2}, que não surge em hexágonos regulares, cuja área envolve \sqrt{3}.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.