Questão 13 do IME 2017

Question

Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a \dfrac{3a}{4}. A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede:

A
\dfrac{a^2}{25}
B
\dfrac{a^2}{18}
C
\dfrac{a^2}{16}
D
\dfrac{a^2}{9}
E
\dfrac{2a^2}{9}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 do IME 2017

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a \dfrac{3a}{4}. A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede:

A
\dfrac{a^2}{25}
B
\dfrac{a^2}{18}
C
\dfrac{a^2}{16}
D
\dfrac{a^2}{9}
E
\dfrac{2a^2}{9}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Coloque o quadrado em coordenadas: A=(0,0), B=(a,0), C=(a,a), D=(0,a). Tome a=4 para simplificar (depois a área é multiplicada por a^2/16).

Os pontos, com comprimento 3 (pois 3a/4=3):

E em AB com AE=3: E=(3,0).
F em BC com BF=3: F=(4,3).
G em CD com CG=3: G=(1,4).
H em DA com DH=3: H=(0,1).

As retas que formam o quadrilátero interno:

AF: passa por (0,0) e (4,3), então y=\frac{3}{4}x.
DE: passa por (0,4) e (3,0), então y=4-\frac{4}{3}x.

Intersecção de AF e DE: \frac{3}{4}x=4-\frac{4}{3}x \Rightarrow \frac{25}{12}x=4 \Rightarrow x=\frac{48}{25}, y=\frac{36}{25}.

Por simetria (rotação de 90^\circ em torno do centro), a figura interna é um quadrado. Seu lado é a distância entre dois vértices consecutivos; usamos o vértice acima e o vértice de AF com BG.

BG: passa por (4,0) e (1,4), então y=-\frac{4}{3}(x-4).

Intersecção de AF e BG: \frac{3}{4}x=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3} \Rightarrow \frac{25}{12}x=\frac{16}{3} \Rightarrow x=\frac{64}{25}, y=\frac{48}{25}.

Lado: diferença entre os pontos \left(\frac{48}{25},\frac{36}{25}\right) e \left(\frac{64}{25},\frac{48}{25}\right): \Delta x=\frac{16}{25}, \Delta y=\frac{12}{25}, logo lado =\frac{20}{25}=\frac{4}{5}.

Área para a=4: \frac{16}{25}. Em geral, \frac{16}{25}\cdot\frac{a^2}{16}=\frac{a^2}{25}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bvalor sem justificativa geométrica, não decorre das interseções calculadas.
Cconfunde com o quadrado de lado a/4, ignorando a inclinação das retas.
Dcorresponde a lado a/3, que não é o lado obtido.
Eárea grande demais, maior que a do quadrado interno real.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Questão 13 no caderno Prova objetiva do IME 2017

Fonte: IME 2017 · Prova objetiva. Prova oficial ↗