Questão 9 do IME 2017

Use as relações de Girard com S_1 = x+y+z, S_2 = xy+yz+zx e S_3 = xyz.

1. Da primeira equação: S_1 = 7.

2. Da identidade x^2+y^2+z^2 = S_1^2 - 2S_2:
   

   25 = 49 - 2S_2 \Rightarrow S_2 = 12

3. Da terceira equação: \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} = \dfrac{xy+yz+zx}{xyz} = \dfrac{S_2}{S_3}. Então:
   

   \dfrac{12}{S_3} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow S_3 = 48

4. Cada raiz r do polinômio t^3 - S_1 t^2 + S_2 t - S_3 = 0 satisfaz r^3 = 7r^2 - 12r + 48. Somando para x, y e z:
   

   x^3+y^3+z^3 = 7(x^2+y^2+z^2) - 12(x+y+z) + 3\cdot 48

5. Substituindo os valores:
   

   7\cdot 25 - 12\cdot 7 + 144 = 175 - 84 + 144 = 235

Conferindo pela identidade x^3+y^3+z^3 - 3xyz = S_1(x^2+y^2+z^2 - S_2) = 7(25-12) = 91. Logo x^3+y^3+z^3 = 91 + 144 = 235. O resultado confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AErro de conta ao somar os termos finais, sem chegar ao valor correto de S_3 ou da identidade.
• CEsquece de multiplicar por 3 o termo xyz ou erra o sinal ao aplicar a identidade da soma de cubos.
• DValor sem base na identidade; resulta de erro de conta ao combinar S_1, S_2 e S_3.
• EErra o sinal do termo -12S_1 ou soma indevidamente, obtendo valor maior que o correto.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

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