Questão 8 do IME 2016

Como 2016 = 12\cdot 168, os restos de n e m na divisão por 12 são equiprováveis, cada resto de 0 a 11 com probabilidade \frac{1}{12}. Basta contar os pares de restos (a,b), entre os 144 possíveis, com ab múltiplo de 12.

Como 12 = 4\cdot 3, o produto precisa ser múltiplo de 4 e de 3.

Múltiplo de 3: n ou m deve ser múltiplo de 3. Isso falha só quando ambos não são múltiplos de 3, com probabilidade \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}. Logo, P(3)=\frac{5}{9}.

Múltiplo de 4: olhamos o resto de cada número por 4: múltiplo de 4 (prob. \frac14), par não múltiplo de 4 (prob. \frac14) ou ímpar (prob. \frac12).

• Algum é múltiplo de 4: 1-\left(\frac34\right)^2=\frac{7}{16}.
• Nenhum é múltiplo de 4, mas ambos são pares (cada um tem 2^1, produto com 2^2): \frac14\cdot\frac14=\frac{1}{16}.
• Os demais casos não servem.

Portanto, P(4)=\frac{7}{16}+\frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac12.

Independência: a divisibilidade por 3 e por 4 depende do resto módulo 3 e módulo 4, que são independentes (o resto módulo 12 equivale ao par de restos, pelo Teorema Chinês dos Restos). Então:

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem justificativa; não corresponde ao produto das probabilidades de múltiplo de 3 e de múltiplo de 4.
• CErra a condição de múltiplo de 4, subestimando os casos em que ambos são pares.
• DValor sem justificativa; ignora vários pares de restos que dão produto múltiplo de 12.
• ECorresponde a contar apenas 5 pares de restos em 144, muito poucos.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Divisibilidade, MMC e MDC.

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