Questão 9 do IME 2016

Question

Seja \text{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}. O maior valor de a, com a \neq 1, que satisfaz \text{A}^{24} = \text{I} é:

Observação: I é a matriz identidade 2x2.

A
\dfrac{1}{2}
B
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
C
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D
\dfrac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} - 1)
E
\dfrac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} + 1)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 do IME 2016

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Seja \text{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix}. O maior valor de a, com a \neq 1, que satisfaz \text{A}^{24} = \text{I} é:

Observação: I é a matriz identidade 2x2.

A
\dfrac{1}{2}
B
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
C
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D
\dfrac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} - 1)
E
\dfrac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} + 1)

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Resolução comentada

A matriz A=\begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} tem a forma de uma rotação multiplicada por um número: A = r\begin{bmatrix} \cos\theta & \sen\theta \\ -\sen\theta & \cos\theta \end{bmatrix}, com r=\sqrt{a^2+b^2}, a=r\cos\theta e b=r\sen\theta.

Potências de uma matriz de rotação são rotações somadas: A^{n} = r^n\begin{bmatrix} \cos n\theta & \sen n\theta \\ -\sen n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix}.

Para A^{24}=I precisamos de:

r^{24}=1, e como r\ge 0, r=1 (então a=\cos\theta);
\cos 24\theta = 1 e \sen 24\theta = 0, ou seja, 24\theta = 2k\pi, logo \theta=\dfrac{k\pi}{12}.

Assim, a=\cos\dfrac{k\pi}{12}, com k inteiro. Os valores possíveis de a são os cossenos dos ângulos múltiplos de 15^\circ.

O valor a=1 (\theta=0) é excluído. O maior valor seguinte vem de \theta=15^\circ:

\cos 15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt2}{4}(\sqrt3+1)

Note que b=\sen 15^\circ é real, então esse valor é de fato atingido.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem erra o sinal na fórmula de \cos(45^\circ-30^\circ) e obtém \sen 15^\circ no lugar de \cos 15^\circ.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ \cos 60^\circ, um valor válido, mas não o maior diferente de 1.
BÉ \cos 45^\circ, válido, porém menor que \cos 15^\circ.
CÉ \cos 30^\circ, válido, porém menor que \cos 15^\circ.
DÉ \sen 15^\circ (ou \cos 75^\circ), trocou a soma pela diferença na fórmula do cosseno.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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Questão 9 no caderno Prova objetiva do IME 2016

Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗