Questão 7 do IME 2016

Use a relação de Stifel: \binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}. Também vale o teorema das colunas (soma na coluna): \sum_{k=p}^{n}\binom{k}{p}=\binom{n+1}{p+1}.

A soma tem cinco termos com p=5, de k=2016 a k=2020, mais \binom{2016}{6}.

1. Comece pelo último termo e o primeiro da soma: \binom{2016}{5}+\binom{2016}{6}=\binom{2017}{6}.
2. Some o próximo termo: \binom{2017}{5}+\binom{2017}{6}=\binom{2018}{6}.
3. Continue: \binom{2018}{5}+\binom{2018}{6}=\binom{2019}{6}.
4. Depois: \binom{2019}{5}+\binom{2019}{6}=\binom{2020}{6}.
5. Por fim: \binom{2020}{5}+\binom{2020}{6}=\binom{2021}{6}.

Cada passo absorve um termo da coluna 5, e o resultado final é \binom{2021}{6}.

Conferência pelo teorema das colunas: \sum_{k=2016}^{2020}\binom{k}{5}=\binom{2021}{6}-\binom{2016}{6}, pois a soma de k=5 a 2020 é \binom{2021}{6} e a de k=5 a 2015 é \binom{2016}{6}. Somando \binom{2016}{6}, sobra \binom{2021}{6}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• APara no quarto passo de Stifel, deixando de somar o termo \binom{2020}{5}.
• BSobe o índice inferior sem justificativa; Stifel não leva a \binom{2020}{7}.
• CMantém a coluna 5, mas a soma com \binom{2016}{6} eleva a coluna para 6.
• ETambém fica na coluna 5 e erra o índice superior; o resultado correto está na coluna 6.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.