PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 do IME 2016

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Progressão geométrica

Sabendo-se que os números reais positivos a, b e c formam uma progressão geométrica e \log\left(\frac{5c}{a}\right), \log\left(\frac{3b}{5c}\right) e \log\left(\frac{a}{3b}\right) formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que a, b e c

  1. A
    formam os lados de um triângulo obtusângulo.
  2. B
    formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero.
  3. C
    formam os lados de um triângulo equilátero.
  4. D
    formam os lados de um triângulo retângulo.
  5. E
    não podem formar os lados de um triângulo.
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Resolução comentada

Conceito: em uma PA, o termo do meio é a média dos extremos, isto é, 2y = x + z. Em uma PG, b^2 = ac.

PA dos logaritmos: o termo do meio é o dobro dele mesmo igual à soma dos extremos:

2\log\frac{3b}{5c} = \log\frac{5c}{a} + \log\frac{a}{3b}

A soma dos logaritmos vira o log do produto:

\log\left(\frac{3b}{5c}\right)^2 = \log\left(\frac{5c}{a}\cdot\frac{a}{3b}\right) = \log\frac{5c}{3b}

Igualando os logaritmandos, com x = \frac{3b}{5c}:

x^2 = \frac{1}{x} \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1

Logo 3b = 5c, ou seja, c = \frac{3b}{5}.

PG: b^2 = ac dá

b^2 = a\cdot\frac{3b}{5} \Rightarrow a = \frac{5b}{3}

Lados: tomando b = 15, temos a = 25, c = 9.

Condição de existência do triângulo: o maior lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Aqui 9 + 15 = 24 < 25, então os três números não formam um triângulo.

Verificação: o maior lado é a=25 e b + c = 24 < 25. A desigualdade triangular falha para qualquer valor de b, pois a razão entre eles é fixa.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Asupõe que existe o triângulo, mas b+c<a e a desigualdade triangular falha.
  • Bos lados 25, 15 e 9 não formam triângulo, muito menos acutângulo.
  • Cos valores são distintos, pois a razão a:b:c é 25:15:9.
  • D15^2+9^2=306\neq 625, e nem triângulo existe.

Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗