Questão 5 do IME 2016

Seja r a raiz comum. Então P(r)=0 e P(P(P(r)))=0.

Como P(r)=0, temos P(P(P(r)))=P(P(0)). Além disso, P(0)=b, então P(P(0))=P(b).

A condição do enunciado vira P(b)=0. Calculando:

1. P(b)=b^2+ab+b
2. Fatorando: P(b)=b\,(b+a+1)
3. Logo, b(a+b+1)=0.

Agora identificamos cada fator como um valor de P:

• P(0)=b
• P(1)=1+a+b

Portanto P(0)\cdot P(1)=b(1+a+b)=0, que é exatamente a condição obtida. Isso vale para todo a e b que satisfaçam a hipótese.

As outras alternativas não são consequência. Por exemplo, com b=0 e a qualquer, P(-1)P(1)=(1-a)(1+a)=1-a^2, que não é sempre zero nem sempre negativo.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACom b=0, P(-1)P(1)=1-a^2 pode ser positivo ou zero, então não é sempre negativo.
• BP(-1)P(1)=(1+b)^2-a^2 não se anula necessariamente; a condição só anula b ou 1+a+b.
• CP(-1)+P(1)=2+2b só seria 2 se b=0, o que não é obrigatório.
• EA soma P(0)+P(1)=1+a+2b não precisa ser zero; o que se anula é o produto.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Equação do 2º grau.

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