PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 do IME 2016

Prova objetiva · Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Sejam dois quadrados de lado a situados em planos distintos que são paralelos entre si e situados a uma distância d, um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com os quadrados, formam um sólido S. Qual a distância entre estes planos distintos em função de a, de modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros?

  1. A
    \dfrac{a}{2}
  2. B
    \dfrac{a\sqrt{3}}{2}
  3. C
    \dfrac{a\sqrt{10}}{8}
  4. D
    \dfrac{a\sqrt[4]{8}}{2}
  5. E
    \dfrac{a(4-3\sqrt{2})}{2}
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Resolução comentada

Coloque o primeiro quadrado no plano z=0, com centro na origem e lados paralelos aos eixos. Seus vértices são \left(\pm\frac a2,\pm\frac a2,0\right).

Como cada diagonal de um quadrado é paralela a dois lados do outro, o segundo quadrado está girado de 45^\circ em relação ao primeiro. Sua diagonal vale a\sqrt2 e fica sobre os eixos, no plano z=d. Seus vértices são \left(\pm\frac{a\sqrt2}{2},0,d\right) e \left(0,\pm\frac{a\sqrt2}{2},d\right).

O vértice \left(\frac a2,\frac a2,0\right) se liga aos dois vértices mais próximos do quadrado de cima: \left(\frac{a\sqrt2}{2},0,d\right) e \left(0,\frac{a\sqrt2}{2},d\right). A distância entre esses dois vértices é o lado a do quadrado de cima.

Para o triângulo ser equilátero, as arestas inclinadas também precisam medir a:

  1. \left(\frac a2-\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac a2\right)^2+d^2=a^2
  2. O primeiro termo vale \frac{a^2}{4}(3-2\sqrt2) e o segundo vale \frac{a^2}{4}. A soma dos dois é \frac{a^2}{4}(4-2\sqrt2)=\frac{a^2(2-\sqrt2)}{2}.
  3. Então d^2=a^2-\frac{a^2(2-\sqrt2)}{2}=\frac{a^2\sqrt2}{2}.
  4. Logo d=a\cdot 2^{-1/4}=\frac{a\cdot 2^{3/4}}{2}=\frac{a\sqrt[4]{8}}{2}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa; com d=a/2 a aresta inclinada não mede a.
  • BÉ a altura de um triângulo equilátero de lado a, mas não leva em conta a posição horizontal dos vértices.
  • CResultado de erro algébrico; não satisfaz d^2=a^2\sqrt2/2.
  • EExpressão negativa, pois 4-3\sqrt2<0, e portanto impossível para uma distância.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Poliedros e relação de Euler.

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Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗