PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 14 do IME 2016
Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo \hat{A}. Sabe-se que
\overline{AC} = \overline{AD},\ r = \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \text{ e que } \hat{C} = \alpha
Portanto o valor de \sen^2\alpha é
- A\frac{3r-1}{4}
- B\frac{3r-1}{4r}
- C\frac{r+3}{4}
- D\frac{3r+1}{4r}
- E\frac{3r+1}{4}
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada
Chame AC = AD = b, então AB = rb. Seja \hat{A} = 2\theta, já que AD é bissetriz.
- O triângulo ACD é isósceles, pois AC = AD. Logo \hat{ADC} = \hat{C} = \alpha e \hat{CAD} = \theta.
- A soma dos ângulos de ACD dá \theta + 2\alpha = 180^\circ, então \theta = 180^\circ - 2\alpha e \hat{A} = 360^\circ - 4\alpha.
- No triângulo ABC: \hat{B} = 180^\circ - \hat{A} - \alpha = 3\alpha - 180^\circ.
- Pela lei dos senos, \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{\sen \hat{C}}{\sen \hat{B}}, ou seja
r = \frac{\sen\alpha}{\sen(3\alpha - 180^\circ)} = \frac{\sen\alpha}{-\sen 3\alpha}
- Use \sen 3\alpha = 3\sen\alpha - 4\sen^3\alpha = \sen\alpha\,(3 - 4\sen^2\alpha). Cancelando \sen\alpha:
r = \frac{-1}{3 - 4\sen^2\alpha} \Rightarrow 3 - 4\sen^2\alpha = -\frac{1}{r}
- Isolando: 4\sen^2\alpha = 3 + \dfrac{1}{r} = \dfrac{3r+1}{r}, logo
\sen^2\alpha = \frac{3r+1}{4r}
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AErra o sinal e o denominador: não aparece o r no denominador e o numerador fica 3r-1.
- BErra o sinal ao isolar \sen^2\alpha, esquecendo que \sen\hat{B} = -\sen 3\alpha, e obtém 3r-1 no numerador.
- CExpressão sem origem na lei dos senos; não resulta da relação entre r e \sen 3\alpha.
- ETem o numerador certo, mas perde o r no denominador ao isolar \sen^2\alpha.
Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Lei dos senos e lei dos cossenos.
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Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗