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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 do IME 2016

Prova objetiva · Física: Trabalho de uma força e teorema da energia cinética

Rampa inclinada de ângulo $\theta$ com a horizontal, descendo da esquerda para a direita. Um corpo identificado por $m, +Q$ está na extremidade inferior, apoiado em uma mola de constante elástica $K$, presa a um suporte fixo. A distância $d$ é indicada ao longo da rampa, do topo até a posição inicial do corpo. Duas linhas tracejadas transversais à rampa delimitam uma região de diferença de potencial $V$, com sinal negativo do lado superior da rampa e positivo do lado inferior.

Um corpo de carga positiva, inicialmente em repouso sobre uma rampa plana isolante com atrito, está apoiado em uma mola, comprimindo-a. Após ser liberado, o corpo entra em movimento e atravessa uma região do espaço com diferença de potencial V, sendo acelerado. Para que o corpo chegue ao final da rampa com velocidade nula, a distância d indicada na figura é

Dados:

  • deformação inicial da mola comprimida: x;
  • massa do corpo: m;
  • carga do corpo: + Q;
  • aceleração da gravidade: g;
  • coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e a rampa: \mu;
  • ângulo de inclinação da rampa: \theta;
  • constante elástica da mola: K.

Considerações:

  • despreze os efeitos de borda;
  • a carga do corpo permanece constante ao longo da trajetória.
  1. A
    \dfrac{Kx^2+2QV}{2(1+\mu)mg\sen(\theta)}
  2. B
    \dfrac{Kx^2+QV}{2(1+\mu)mg\sen(\theta)}
  3. C
    \dfrac{\dfrac{Kx^2}{2}+QV}{2(1+\mu)mg\cos(\theta)}
  4. D
    \dfrac{Kx^2-2QV}{2mg(\sen(\theta)+\mu\cos(\theta))}
  5. E
    \dfrac{Kx^2+2QV}{2mg(\sen(\theta)+\mu\cos(\theta))}
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Resolução comentada

Na figura, o corpo está na parte de baixo da rampa, apoiado na mola comprimida, e sobe até o topo. A distância d é medida do topo até a posição inicial do corpo, então é o deslocamento total ao longo da rampa. O corpo chega ao topo com velocidade nula.

Use o teorema trabalho-energia: o trabalho total das forças é igual à variação da energia cinética, que aqui é zero (parte do repouso e termina em repouso).

Trabalhos envolvidos:

  1. Mola: libera a energia elástica, +\dfrac{Kx^2}{2}.
  2. Campo elétrico: a região tem diferença de potencial V e o corpo é acelerado, então o trabalho é +QV.
  3. Peso: o corpo sobe a distância d ao longo da rampa, com desnível d\,\sen\theta, então o trabalho é -mgd\sen\theta.
  4. Atrito: a normal vale N=mg\cos\theta, então o trabalho é -\mu mg\cos\theta\,d.

Observação: o deslocamento inclui o trecho em que o corpo ainda está em contato com a mola. Ao desprezar o comprimento x, consideramos que d é o percurso total, como o enunciado indica.

Equação:

\frac{Kx^2}{2}+QV-mgd\,\sen\theta-\mu mgd\cos\theta=0

Isolando d:

d=\frac{\dfrac{Kx^2}{2}+QV}{mg(\sen\theta+\mu\cos\theta)}=\frac{Kx^2+2QV}{2mg(\sen\theta+\mu\cos\theta)}

Isso coincide com a alternativa E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa (1+\mu)\sen\theta no denominador, ignorando que o atrito depende de \cos\theta.
  • BAlém de errar o denominador com (1+\mu)\sen\theta, não dobra o termo QV ao pôr tudo sobre 2.
  • CUsa (1+\mu)\cos\theta no denominador, confundindo as componentes do peso e do atrito, e ainda deixa o fator 2 inconsistente.
  • DSubtrai 2QV, mas o campo acelera o corpo e realiza trabalho positivo.

Assuntos: Trabalho de uma força e teorema da energia cinética, Energia mecânica e sua conservação, Potencial elétrico e energia potencial elétrica.

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Fonte: IME 2016 · Prova objetiva. Prova oficial ↗