Questão 12 do IME 2016

O lugar geométrico dos pontos equidistantes a duas retas concorrentes é formado pelas duas bissetrizes. Um ponto (x,y) é equidistante quando as distâncias às retas são iguais.

A distância de um ponto a uma reta ax+by+c=0 é \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.

1. Primeira reta: \sqrt{4^2+3^2}=5.
2. Segunda reta: \sqrt{12^2+16^2}=20.

Igualando as distâncias:

Há dois casos.

• Sinal positivo: 16x+12y-8=12x-16y+5 \Rightarrow 4x+28y-13=0.
• Sinal negativo: 16x+12y-8=-12x+16y-5 \Rightarrow 28x-4y-3=0.

O lugar geométrico é a união das duas retas, ou seja, o produto das equações igualado a zero:

Expandindo:

112x^2-16xy-12x+784xy-112y^2-84y-364x+52y+39=0

Isso coincide com a alternativa E. As duas retas são perpendiculares, pois 4\cdot12+3\cdot(-16)=0, o que confirma o resultado.

Alternativa E.

Pegadinha: A e C são cada uma uma bissetriz isolada; engana quem esquece o módulo e não considera os dois casos, esquecendo que o lugar geométrico é a união das duas retas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ só uma das bissetrizes, e com o termo independente de sinal trocado; falta a outra.
• BReta que não resulta de nenhum dos dois casos da igualdade das distâncias.
• CÉ apenas uma das duas bissetrizes (caso negativo); o lugar geométrico tem as duas.
• DOs coeficientes não correspondem ao produto das duas bissetrizes (seria o produto com erro de conta).

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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