Questão 13 do IME 2016

Há seis distâncias: quatro valem a e duas valem b. Os dois segmentos de medida b podem ser opostos (sem ponto comum) ou ter um ponto em comum. Analisamos os dois casos.

Caso 1: os segmentos b não se tocam. Sejam AB=CD=b e as outras quatro distâncias iguais a a. Então A e B são equidistantes de C e D, e ACBD é um losango de lado a. As diagonais AB e CD são iguais, logo o losango é um quadrado e b=a\sqrt2. Assim, \left(\frac{b}{a}\right)^2=2.

Caso 2: os segmentos b partem do mesmo ponto. Sejam AB=AC=b e BC=AD=BD=CD=a.

1. BCD é equilátero de lado a, e sua altura é DM=\frac{a\sqrt3}{2}, com M o ponto médio de BC.
2. Como AB=AC, A está na mediatriz de BC, que é a reta DM.
3. Como AD=a, A está a distância a de D sobre essa reta. Para b ser máximo, A fica do lado oposto a BC, com AM=a+\frac{a\sqrt3}{2}.
4. Em AMB, com MB=\frac a2:

A outra posição de A (AM=a-\frac{a\sqrt3}{2}) dá um valor menor.

Como 2+\sqrt3>2, o máximo é 2+\sqrt3.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ o valor do caso do quadrado, que não é o máximo.
• BNão corresponde a nenhuma configuração possível; vem de erro na conta da distância AB.
• DValor sem relação com as configurações válidas.
• EValor maior que o máximo real; erro de conta ao somar as distâncias.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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