Questão 11 do IME 2016

Primeiro simplifique o lado esquerdo. Como \sen(2x)=2\,\sen x\cos x e \tg x=\frac{\sen x}{\cos x}:

Isso vale para \sen x\neq 0 e \cos x\neq 0, que é onde a expressão original existe.

1. A equação fica 2\cos^2x=\frac12, ou seja, \cos^2x=\frac14 e \cos x=\pm\frac12.
2. Em \left[-\frac{\pi}{2},\pi\right], \cos x=\frac12 dá x=-\frac{\pi}{3} e x=\frac{\pi}{3}.
3. Nesse intervalo, \cos x=-\frac12 dá só x=\frac{2\pi}{3}. O valor -\frac{2\pi}{3} fica fora do intervalo.
4. Nenhuma dessas soluções anula \sen x ou \cos x, então todas servem.

São três pontos no círculo, logo o polígono é um triângulo com vértices:

A\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right), B\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right), C\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right).

Tome AB como base. Ela é vertical e mede \sqrt3. A altura é a distância horizontal de C à reta x=\frac12, que vale 1.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BUsa \sqrt3\cdot 1 e esquece de dividir por 2 na área do triângulo.
• CNão corresponde ao triângulo; vem de um cálculo de área errado, sem base na geometria dos três pontos.
• DValor sem relação com o triângulo de vértices em -\pi/3, \pi/3 e 2\pi/3.
• EResultado de incluir pontos indevidos (por exemplo -2\pi/3 ou \pi/2), formando outro polígono.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Áreas e perímetros de polígonos, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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