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Questão 1 (Matemática) da 2ª fase do IME 2026

Matemática · Matemática: Números complexos

Seja i tal que i^2 = -1. Considere o número complexo z = \alpha + \beta i, sendo \alpha e \beta números inteiros não nulos. Sabendo que z^3 = -9 + 46i, determine \alpha e \beta.

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Resolução comentada

a) Desenvolva o cubo e compare partes real e imaginária. Com i^2=-1 e i^3=-i:

z^3=(\alpha^3-3\alpha\beta^2)+(3\alpha^2\beta-\beta^3)i.

Igualando a -9+46i:

\alpha^3-3\alpha\beta^2=-9 \quad\text{e}\quad 3\alpha^2\beta-\beta^3=46.

Para reduzir os candidatos, use o módulo. Como |z^3|=|z|^3:

|z|^6=(-9)^2+46^2=81+2116=2197=13^3 \Rightarrow |z|^2=\alpha^2+\beta^2=13.

Como \alpha e \beta são inteiros não nulos, os quadrados que somam 13 são 4 e 9. Logo \{|\alpha|,|\beta|\}=\{2,3\}.

A parte imaginária \beta(3\alpha^2-\beta^2)=46 é positiva. Se |\beta|=2, então 3\alpha^2-\beta^2=27-4>0, então \beta>0. Se |\beta|=3, então 3\alpha^2-\beta^2=12-9>0, então \beta>0. Portanto \beta>0, e sobram quatro candidatos: (3,2), (-3,2), (2,3) e (-2,3).

Teste na parte real, que deve valer -9:

  1. (3,2): 27-3\cdot3\cdot4=27-36=-9 ✓
  2. (-3,2): -27+36=9 ✗
  3. (2,3): 8-54=-46 ✗
  4. (-2,3): -8+54=46 ✗

Confira a parte imaginária de (3,2): 3\cdot9\cdot2-8=54-8=46 ✓.

Logo z=3+2i, e é a única solução.

\alpha=3 e \beta=2

Assunto: Números complexos.

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Fonte: IME 2ª fase 2026 · Matemática. Prova oficial ↗