Questão 1 (Física) da 2ª fase do IME 2026

Question

$Gráfico da energia potencial $E_p$ em função da posição $x$, mostrando um mínimo local na origem $(0,0)$ e um máximo local para $x > 0$, tendendo ao infinito positivo quando $x \to -\infty$ e ao infinito negativo quando $x \to +\infty$.$

A figura mostra o aspecto da curva da energia potencial de uma partícula em movimento unidimensional, cuja equação é dada por

E_p(x) = 2x^2 - x^3/3 \quad ,

sendo a força associada aplicada à partícula dada por

F(x) = -4x + x^2 \quad .

Observação:
• todos os valores são dados em unidades SI.

Dado o exposto:

a) determine o intervalo de posições possíveis para a partícula para que seu movimento seja oscilatório;

b) determine o supremo E_{\text{sup}} da energia mecânica abaixo do qual a partícula possa conservar-se em movimento oscilatório;

c) esboce o gráfico da velocidade em função do tempo se, num instante inicial, em x = 0, o sentido da velocidade da partícula é da direita para a esquerda e sua energia mecânica E é tal que E > E_{\text{sup}}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Física) da 2ª fase do IME 2026

Física · Física: Energia mecânica e sua conservação

$Gráfico da energia potencial $E_p$ em função da posição $x$, mostrando um mínimo local na origem $(0,0)$ e um máximo local para $x > 0$, tendendo ao infinito positivo quando $x \to -\infty$ e ao infinito negativo quando $x \to +\infty$.$

A figura mostra o aspecto da curva da energia potencial de uma partícula em movimento unidimensional, cuja equação é dada por

E_p(x) = 2x^2 - x^3/3 \quad ,

sendo a força associada aplicada à partícula dada por

F(x) = -4x + x^2 \quad .

Observação:
• todos os valores são dados em unidades SI.

Dado o exposto:

a) determine o intervalo de posições possíveis para a partícula para que seu movimento seja oscilatório;

b) determine o supremo E_{\text{sup}} da energia mecânica abaixo do qual a partícula possa conservar-se em movimento oscilatório;

c) esboce o gráfico da velocidade em função do tempo se, num instante inicial, em x = 0, o sentido da velocidade da partícula é da direita para a esquerda e sua energia mecânica E é tal que E > E_{\text{sup}}.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a) A força é F=-dE_p/dx. Ela se anula em -4x+x^2=0, ou seja, em x=0 e em x=4\ \text{m}.

x=0 é mínimo de E_p, um equilíbrio estável.
x=4 é máximo de E_p, um equilíbrio instável, e vale E_p(4)=2\cdot16-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}\ \text{J}.

A partícula oscila quando sua energia mecânica fica entre 0 e 32/3. Nesse caso ela fica presa no "poço" de potencial, entre dois pontos de retorno onde E_p=E.

O limite da direita é o topo da barreira, x=4. O limite da esquerda é o ponto com E_p=32/3 para x<0:

2x^2-\frac{x^3}{3}=\frac{32}{3}\Rightarrow x^3-6x^2+32=0\Rightarrow (x-4)^2(x+2)=0

A raiz x=4 é dupla, pois é o máximo. A outra raiz é x=-2.

O movimento oscilatório ocorre para posições com -2\ \text{m}<x<4\ \text{m}.

b) Com E<E_p(4) a partícula não consegue passar pela barreira em x=4 e fica confinada no poço. Com E>E_p(4) ela escapa. Logo:

E_{\text{sup}}=E_p(4)=\frac{32}{3}\ \text{J}\approx 10{,}7\ \text{J}

O valor é supremo, e não máximo, porque com E=32/3 a partícula levaria tempo infinito para chegar ao topo e não completaria a oscilação.

c) Com E>32/3 a partícula parte de x=0 para a esquerda com velocidade -v_0, sendo v_0=\sqrt{2E/m} (a massa não é dada, então o gráfico é qualitativo). A aceleração é a=F/m.

De x=0 ao ponto de retorno (x<0): F=-4x+x^2>0, então a velocidade cresce de -v_0 até 0, o que ocorre no instante t_1. Em t=0 a inclinação é nula, pois F(0)=0.
Volta de x_{ret} a x=0: v continua crescendo e chega a +v_0 em t_2=2t_1, de novo com inclinação nula. O trecho entre 0 e t_2 tem simetria ímpar em torno de t_1.
De x=0 a x=4: F<0, então v diminui até o mínimo v_{min}=\sqrt{2(E-32/3)/m}>0 em x=4, onde a inclinação é nula. A partícula não para, porque E>E_{\text{sup}}.
Para x>4: F>0 de novo e E_p\to-\infty, então v cresce cada vez mais rápido, sem limite.

O esboço de v\times t é uma curva sempre acima de -v_0 e é o seguinte: sai de -v_0 com tangente horizontal, sobe cruzando v=0 em t_1, chega a um patamar em +v_0 em t_2, desce suavemente até v_{min}>0 e depois sobe de forma cada vez mais íngreme. A partícula nunca mais volta, e a velocidade nunca mais se anula nem fica negativa.

Assunto: Energia mecânica e sua conservação.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 1 no caderno Física da 2ª fase do IME 2026

Fonte: IME 2ª fase 2026 · Física. Prova oficial ↗