Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2025

a) Repare que o produto (A-I)(2B+I) reproduz a expressão do enunciado:

Logo \det(2AB+A-2B-I)=\det(A-I)\cdot\det(2B+I), e o determinante é zero se, e somente se, um dos fatores tiver determinante zero.

Seja s=\sen\left(\frac{4x+\pi}{8}\right) e t=\sen\left(\frac{4x-\pi}{8}\right).

1. A-I=\begin{bmatrix}0&s&3\\ s&0&1\\ -2&-1&0\end{bmatrix}. Pela primeira linha:
   

   \det(A-I)=-s\,(s\cdot0-1\cdot(-2))+3\,(s\cdot(-1)-0\cdot(-2))=-2s-3s=-5s.

2. 2B+I=\begin{bmatrix}0&6&-4\\ 4&0&2t\\ 1&2t&0\end{bmatrix}. Pela primeira linha:
   

   \det(2B+I)=-6\,(4\cdot0-2t\cdot1)-4\,(4\cdot2t-0\cdot1)=12t-32t=-20t.

Portanto o determinante pedido é 100\,s\,t, e ele é nulo quando s=0 ou t=0.

• s=0: \frac{4x+\pi}{8}=k\pi\Rightarrow x=2k\pi-\frac{\pi}{4}. Em [0,2\pi], só serve k=1, que dá x=\frac{7\pi}{4}.
• t=0: \frac{4x-\pi}{8}=k\pi\Rightarrow x=2k\pi+\frac{\pi}{4}. Em [0,2\pi], só serve k=0, que dá x=\frac{\pi}{4}.

x=\dfrac{\pi}{4} ou x=\dfrac{7\pi}{4}

Assuntos: Matrizes e determinantes, Equações e inequações trigonométricas.