PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2024
Dado um plano \pi e uma reta r nele contida, sejam A e B pertencentes a \pi dois pontos em um mesmo semiplano definido por r. O ponto A' é o simétrico a A em relação à reta r. Os segmentos de reta AA' e A'B interceptam a reta r nos pontos C e M, respectivamente. Se N é um ponto da reta r distinto de M, prove que
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Resolução comentada
Prova.
Como a questão não tem itens, a resposta é a demonstração completa.
Passo 1: PA = PA' para todo P \in r.
Por definição de simétrico, r é mediatriz de AA', e C é o ponto médio de AA'. Seja P um ponto qualquer de r.
Se P \neq C, os triângulos PCA e PCA' são congruentes pelo caso LAL: CA = CA', o ângulo em C é reto nos dois e PC é lado comum. Logo PA = PA'. Se P = C, a igualdade é imediata.
Passo 2: M existe e está entre A' e B.
A e B estão no mesmo semiplano de r, e A' está no semiplano oposto. Então A' e B ficam em lados opostos de r, e o segmento A'B corta r em um ponto M interior ao segmento. Assim,
Passo 3: o lado esquerdo.
Pelo passo 1, AM = A'M. Portanto
Passo 4: o lado direito.
Seja N \in r, com N \neq M. Pelo passo 1, AN = A'N, logo
Passo 5: desigualdade triangular estrita.
A reta A'B não coincide com r, pois A' \notin r. Logo ela intercepta r em um único ponto, que é M. Como N \in r e N \neq M, o ponto N não pertence à reta A'B. Então A', N e B formam um triângulo não degenerado, e a desigualdade triangular vale de forma estrita:
Conclusão. Juntando os passos 3, 4 e 5,
Fica provado que \overline{AM} + \overline{MB} < \overline{AN} + \overline{NB}.
Assuntos: Transformações geométricas e localização, Triângulos: congruência e pontos notáveis.
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Fonte: IME 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗