Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2024

a) Primeiro, note que 2\cos(2x)-1 = 2(\cos^2 x-\sen^2 x)-(\cos^2 x+\sen^2 x)=\cos^2 x-3\sen^2 x. Os dois denominadores têm, portanto, o mesmo fator D=\cos^2 x-3\sen^2 x.

Condições de existência:

• \tg x definida e não nula: \cos x\neq 0 e \sen x\neq 0.
• D\neq 0: \cos^2x\neq 3\sen^2x, ou seja, \tg^2x\neq \tfrac13. Isso equivale a \sen^2 x\neq \tfrac14, isto é, \sen x\neq\pm\tfrac12.

Simplificação. Como \tg x=\dfrac{\sen x}{\cos x}, a equação fica

Cancelando \cos x/D (que é não nulo), obtemos \alpha=\dfrac{\alpha+\sen x}{\sen x}. Daí \alpha\sen x=\alpha+\sen x, ou seja, (\alpha-1)\sen x=\alpha.

Se \alpha=1, ficaria 0=1, o que é impossível. Logo \alpha\neq1 e

Restrições sobre s:

1. |s|<1 (já que \sen x\neq\pm1, pois \cos x\neq0): \alpha^2<(\alpha-1)^2\Rightarrow 0<1-2\alpha\Rightarrow \alpha<\tfrac12. Para \alpha=\tfrac12 teríamos s=-1, o que é proibido.
2. s\neq0\Rightarrow\alpha\neq0.
3. s\neq\tfrac12: 2\alpha=\alpha-1\Rightarrow\alpha=-1 deve ser excluído.
4. s\neq-\tfrac12: 2\alpha=1-\alpha\Rightarrow\alpha=\tfrac13 deve ser excluído.

Resposta: \alpha<\tfrac12, com \alpha\neq-1, \alpha\neq0 e \alpha\neq\tfrac13.

b) Com \alpha nas condições do item (a), a equação se reduz a \sen x=\dfrac{\alpha}{\alpha-1}. As soluções são

Para esses valores de \alpha, as condições de existência estão satisfeitas: \sen x\neq 0,\pm1,\pm\tfrac12.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.