PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2024
João nasceu no ano n e está prestando vestibular para o IME em 2023. Sejam A, B e C conjuntos de inteiros positivos tais que |A| = |B| + 4. Sabe-se que há n funções estritamente crescentes de A para C , bem como de B para C.
Observações:
• |S| representa o número de elementos do conjunto S ;
• uma função é estritamente crescente quando x_1 < x_2 implica f(x_1) < f(x_2).
Diante do exposto, determine:
a) o número de funções f estritamente crescentes de A para C em função de |A| e |C|;
b) o ano no qual João nasceu.
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Resolução comentada
a) Uma função estritamente crescente f:A\to C fica totalmente determinada pelo conjunto das imagens f(A)\subset C. Isso vale porque, ordenados os elementos de A, o menor vai para a menor imagem, o seguinte para a próxima, e assim por diante. Reciprocamente, todo subconjunto de C com |A| elementos define exatamente uma função crescente. Logo, o número de funções é o de subconjuntos de |A| elementos de C:
Resposta: \dbinom{|C|}{|A|}.
b) Sejam b=|B|, a=|A|=b+4 e c=|C|. Pelo item (a), o enunciado diz que
Para c fixo, os valores de \binom{c}{k} crescem estritamente até o meio e depois decrescem de forma simétrica. Como b\neq b+4, dois coeficientes iguais só ocorrem se b+(b+4)=c, ou seja, c=2b+4. O caso de valor nulo (n=0) não serve, pois n é um ano.
Assim, n=\binom{2b+4}{b}. Testando valores de b:
- b=0: \binom{4}{0}=1
- b=1: \binom{6}{1}=6
- b=2: \binom{8}{2}=28
- b=3: \binom{10}{3}=120
- b=4: \binom{12}{4}=495
- b=5: \binom{14}{5}=2002
- b=6: \binom{16}{6}=8008
Os valores crescem com b. O único que é um ano compatível com alguém prestando vestibular em 2023 é 2002, obtido com b=5, a=9 e c=14. Conferindo: \binom{14}{9}=\binom{14}{5}=2002.
Resposta: João nasceu em 2002.
Assunto: Combinações e binômio de Newton.
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Fonte: IME 2ª fase 2024 · Matemática. Prova oficial ↗