Questão 2 (Matemática) da 2ª fase do IME 2023

Escreva tudo em seno e cosseno. Para \alpha \neq \frac{k\pi}{2}, temos \sen\alpha \neq 0 e \cos\alpha \neq 0, então todas as funções do enunciado estão definidas.

1. Primeiro fator:
   1+\tg\alpha+\sec\alpha = 1+\frac{\sen\alpha}{\cos\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha+\sen\alpha+1}{\cos\alpha}
2. Segundo fator:
   1+\operatorname{cotg}\alpha-\operatorname{cossec}\alpha = 1+\frac{\cos\alpha}{\sen\alpha}-\frac{1}{\sen\alpha}=\frac{\sen\alpha+\cos\alpha-1}{\sen\alpha}
3. Multiplicando, o numerador é um produto da forma (x+1)(x-1), com x=\sen\alpha+\cos\alpha:
   S=\frac{(\sen\alpha+\cos\alpha+1)(\sen\alpha+\cos\alpha-1)}{\sen\alpha\cos\alpha}=\frac{(\sen\alpha+\cos\alpha)^2-1}{\sen\alpha\cos\alpha}
4. Desenvolvendo o quadrado e usando \sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1:
   (\sen\alpha+\cos\alpha)^2-1 = 1+2\sen\alpha\cos\alpha-1=2\sen\alpha\cos\alpha
5. Logo
   S=\frac{2\sen\alpha\cos\alpha}{\sen\alpha\cos\alpha}=2

Como \sen\alpha\cos\alpha\neq 0, o cancelamento é válido. Assim, S é constante e inteiro para todo \alpha\neq\frac{k\pi}{2}.

S = 2

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.