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Questão 7 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

Matemática · Matemática: Números complexos

Sejam os pontos a e b, no plano complexo, representados pelos números a = 9 + xi e b = y + 3i, onde i é a unidade imaginária tal que i^2 = -1. O ponto a é a rotação de 30^\text{o} do ponto b em torno da origem no sentido anti-horário. Determine o valor do produto xy.

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Resolução comentada

a) Girar b de 30^\circ no sentido anti-horário em torno da origem equivale a multiplicar b por \cos 30^\circ + i\,\sen 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}. Então a = b\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}\right).

Substituindo a e b:

9 + xi = (y + 3i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) = \left(\frac{y\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\right) + \left(\frac{y}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)i

Igualando as partes reais e as partes imaginárias:

  1. Parte real: \dfrac{y\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2} = 9 \Rightarrow y\sqrt{3} = 21 \Rightarrow y = 7\sqrt{3}.
  2. Parte imaginária: x = \dfrac{y}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{7\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}.

Conferindo: |a|^2 = 81 + 75 = 156 e |b|^2 = 147 + 9 = 156. A rotação preserva o módulo, então os valores estão consistentes.

Portanto:

xy = 5\sqrt{3}\cdot 7\sqrt{3} = 35 \cdot 3 = 105

xy = 105

Assunto: Números complexos.

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Fonte: IME 2ª fase 2022 · Matemática. Prova oficial ↗