Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2022

a) Primeiro vêm as condições de existência. O logaritmo \log_2 \sen(x) exige \sen(x)>0. A fração \frac{x}{\sqrt{4x^2}} exige x\neq 0, o que já está garantido por \sen(x)>0 ... mas isso só vale se x\ne 0, e \sen 0=0 de fato não satisfaz \sen(x)>0.

Agora simplificamos cada parcela:

1. 4^{\log_2 \sen(x)} = 2^{2\log_2 \sen(x)} = 2^{\log_2 \sen^2(x)} = \sen^2(x).
2. \log_4 2^{\cos(2x)} = \cos(2x)\cdot\log_4 2 = \dfrac{\cos(2x)}{2} = \dfrac{1-2\sen^2(x)}{2} = \dfrac12-\sen^2(x).
3. \dfrac{x}{\sqrt{4x^2}} = \dfrac{x}{2|x|}, que vale \dfrac12 se x>0 e -\dfrac12 se x<0.

Somando as duas primeiras parcelas, os termos \sen^2(x) se cancelam e sobra \dfrac12. A equação fica

Portanto a equação vale para todo x<0 que satisfaça a condição de existência \sen(x)>0.

O seno é positivo em (2n\pi,(2n+1)\pi), com n\in\mathbb{Z}. Para esses intervalos ficarem em x<0, tomamos n=-k com k\in\mathbb{N}^*. Isso dá os intervalos (-2k\pi,\,-(2k-1)\pi), ou seja, (-2\pi,-\pi), (-4\pi,-3\pi), e assim por diante.

S=\{x\in\mathbb{R}\mid x<0 \text{ e } \sen x>0\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}^*}\left(-2k\pi,\,-(2k-1)\pi\right)

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Logaritmos e função logarítmica, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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